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標題: [心得] 由波耳氫原子模型談量子力學的建立（2）
時間: Thu Jun 3 09:52:11 2010
作者: caseypie (遺世獨立) 看板: Tymora
標題: [心得] 由波耳氫原子模型談量子力學的建立（2）
時間: Sat May 15 03:55:21 2010
波耳的氫原子模型
根據蒲朗克提出的理論，一個物理系統所能發射出的光波能量是不連續的，存在一最小
的能量元素單位—後來這單位普遍地被稱之為「量子（quantum）」。以公式表達，即是：
E = nhν
波耳採用這個的觀念，做出假定：原子的能量並非任意的，而是量子化的；因此，電子
亦只能存在於使原子維持在這些特定能量的特定組態。原子的能態分佈也滿足蒲朗克的
公式，即：
E =nhf
(註：此處之原子能量 E 是取絕對值，故恆正。事實上原子能量為負值。）
需要注意的是：由於此處的 f 本身也可能是 n 的函數，隨 n 而變，因此 E 和 n 未必
是正比關係。
在古典觀念中，光，也就是電磁波，是因為電荷的加速度運動而散射。波耳揚棄了這個
理論；他認為：原子發射出的光波，是源自原子從高能組態降至低能組態時，所釋放出
的能量；當原子處於那些量子化的特定能態時，是不會發出電磁波的。此一概念將深刻
影響波耳對於雷得堡公式的闡釋，將在之後介紹。
波耳尚須解決一個問題：頻率 f 究竟是什麼的頻率？此處，他的處理方式卻參照了電磁
波的古典觀念：根據行星狀原子模型，電子繞行原子核行圓周運動--也就是個週期性的
加速度運動。波耳相信這個圓周運動的週期與他需找到的特徵頻率f密切相關。他採用的
頻率是「電子繞行原子核的公轉頻率的一半」。
顯而易見地，此一步驟相當難以令人信服：採用電子的公轉頻率尚是個可以接受的假定，
但為什麼是一半，而不是其他的比值呢？在1913年的論文當中，波耳花了相當的篇幅來
說明為何使用二分之一這個比值。筆者將在稍後說明這個問題，先將波耳剩餘的推導過
程敘述完畢。
行星系統可說是古典力學之濫觴，有數百年的研究歷史。而重力和電力又依循同樣的平
方反比定律，公式的形式根本完全相同。因此，剩餘的部份僅需引用前人的推導成果，
再加以類比即可，相當簡單。筆者在此不詳述推導過程而僅大略列出古典力學中行星系
統的計算結果：
符號標示：v 是電子繞行原子核的公轉速度，r 是電子和原子核的距離，e 是電子（以
及質子）帶電量，m 為電子質量，E 為此系統的總能量（由於相較之下重力非常小，故
只需考慮電磁能），ε0 為真空中電容率（電磁學某常數）。
f = (1/2)(v/2πr) = v/4πr
E = (1/2)(e^2/4πεr) i.e. r = e^2/8πεE
E = mv^2/2 i.e. v = √(2E/m)
(m為電子質量)
綜合以上三式，得到：
f = (2ε/e^2)√(2/m)E^1.5
再配合波耳之假設：
E = nhf = nh(2ε/e^2)√(2/m)E^1.5
整理後得到：
E = [me^4/(8ε^2．h^2)](1/n^2) = 2.179*10^-18/n^2 J
r = (εh^2/πme^2)n^2 = 5.29*10^-11 m
這即是波耳模型的結果：原子能量與原子半徑（也就是電子和原子核的距離）。這結果
相當重要，因為它們完全由已知常數構成，而這兩個數值又能被當時能進行的其他實驗
檢驗之：這代表波耳模型能夠「由原有的科學知識延伸至新的知識」，超越了「憑實驗
數據湊答案」的粗淺層次。實驗證實，波耳的計算結果是正確的，因而確立了波耳模型
在近代物理史上的地位。
爭議的假定
現在回到那令人困惑的「一半」假設。事實上，此一結果是波耳的後見之明，目地是為
了讓波耳模型導出的原子能量 E 符合之前雷得堡公式的結果。演繹過程如下：
倘使 f 不是電子公轉頻率的一半，而是其他數值，則 f 和 E 的關係將更動為：
f = x．(2ε/e^2)√(2/m)E^1.5
x為某個比例常數。
那麼，原子能量將為：
E = [(1/x^2)me^4/(8ε^2．h^2)](1/n^2)
波耳對原子光譜提出兩個想定：
一、原子發射出的光波，是源自原子從高能組態降至低能組態時，所釋放出的能量。
二、根據蒲朗克的理論，這些光波的能量正比於其頻率。
因此：
E_1 - E_2 = hν = hc/λ
引用雷得堡公式：
1/λ = R(1/(n_1)^2 - 1/(n_2)^2)
合併可得：
E_1 - E_2 = hcR(1/(n_1)^2 - 1/(n_2)^2)
在波耳模型中，E和n^2成反比。顯而易見地，雷得堡公式中，含有n_1的項和n_2的項，
其實是兩個不同能態的原子能量。此一類比也印證了波耳的第一個假定：原子發射出的
光波，是源自原子從高能組態降至低能組態時，所釋放出的能量。
將此一結果和加上x這個比例常數後的E表達式做對照，可以得到：
(1/x^2)me^4/(8ε^2．h^2) = hcR
整理後得到：
R = (me^4/8ε^2h^3c)(1/x^2)
實驗得到的雷得堡常數 R 是 109677.58cm-1；而若將 x 設為1，根據已知常數數值算
出的等號右側的數值，是109737.315cm-1 --和前者的差距只有萬分之五！並且，這個
差距在隔年即被輕易的以「約化質量（Reduced mass）」法修正；也就是說，雷得堡常
數的實驗結果顯示，x 必須恰好是1。
於是，此一爭議的假定有了解釋。然而，這個解釋是建立在實驗數據上的。事實上波耳
並不能以此作為「解釋」--這僅僅也是「憑實驗數據湊答案」罷了。至此，波耳模型尚
存在一個問題：我們依然無法純粹從理論推得雷得堡公式中的雷得堡常數 R；即是說，
對於原子模型，我們仍然沒有全盤理解究竟是何種機制在操縱這「量子化」的能量分佈，
以及由此而產生的不連續光譜。
註：以上兩個章節是參照波耳當年論文的列式而寫出。然而，當年物理學界的慣用符號
與今日大不相同；此外，原論文採用CGS單位，導致部份公式之寫法與台灣慣用之MKS單
位不同。因此，筆者已將大部分公式轉換成台灣讀者熟悉的形式。
重新詮釋角動量
為了徹底解決這個爭議，波耳大膽的提出闡釋：他引入了電子的角動量來解釋這個問題，
並推導出一個可能比波耳模型本身更重要的理論：角動量亦是量子化的。
簡略的推導如下：
根據行星模型，電子角動量 L、原子能量 E、以及電子繞行頻率 2f 之間的關係式如下：
πL = E/2f
註，此一關係完全由古典力學之行星理論推出，無涉任何新假設，有興趣的讀者可自行
推導。
根據波耳對於原子基礎頻率的假設:
E = nhf
合併兩式：
πL = nh/2
稍做整理：
L = n(h/2π) = n．h_bar
此一極為簡潔的關係式，即是角動量量子化的結果。
波耳在推導過程最末寫下：
如果我們藉此推定，一個安定的電子運行軌跡必須是圓周運動，那麼第五頁（筆者註：
即是說原子能量 E 與半徑 r 之相關推導）的計算結果將能以很簡單的方式表達：處於
安定狀態的電子，其繞行原子核的角動量必定是某個恆定常數的整數倍，且與原子的電
荷或原子核均無關。
這樣的詮釋不可不謂大膽；說得難聽點，其實相當語焉不詳。為了解決既存的疑雲而引
入了角動量量子化這個更加天馬行空的假說，波耳模型在初期因此而飽受抨擊。當時，
他的導師拉塞福，與同樣享有盛名薛汀格（Erwin Schrödinger）均曾質疑過此一模型。
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