→ leo80042:可以借轉嗎推 05/17 02:32
→ caseypie:我明天問下科學月刊版權問題先推 05/17 02:33
→ caseypie:可以轉推 05/17 19:06
→ red0210:我有買耶..O__Q推 05/19 18:50
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 71.79.234.205
※ [本文轉錄自 caseypie 信箱]
作者: [email protected] ([email protected])
標題: [心得] 由波耳氫原子模型談量子力學的建立（3）
時間: Thu Jun 3 09:52:12 2010
作者: caseypie (遺世獨立) 看板: Tymora
標題: [心得] 由波耳氫原子模型談量子力學的建立（3）
時間: Sat May 15 04:06:48 2010
後續發展
波耳模型尚有其他困難。比方說，它只能圓滿解釋氫原子模型。至於其他更複雜的原子，
其光譜有著被稱為「精細結構（fine structure）」、較氫原子光譜複雜甚多的細微變
化。關於這些實驗結果，波耳模型則無能為力。
波耳和索莫非（Arnold Sommerfeld）在稍後提出了一個含有一系列離心率不同的橢圓電
子軌道的原子模型，藉由以量子化條件來調控這些橢圓軌道的形狀，以及引入相對論來
修正計算結果，成功的解釋精細結構。兩人並以此發展出波耳-索莫非量子化關係式
（Bohr-Sommerfeld quantization），此一結果至今依然在部份統計力學（statistical
mechanics）的領域大行其道。然而，隨後，又有實驗結果指出，在電子數更多的原子
中，又有更複雜的「超精細結構（hyperfine structure）」使得其光譜顯現出其他變
化。這一次，波耳再也無法修正其模型以符合之。
物質波
然而，波耳對於原子光譜的大膽假設，已經在物理學界掀起漣漪。以能量躍遷，而非古
典的電荷加速度運動，來說明電磁輻射來源，這樣的變革性假設引起了許多物理學家的
注意，並試圖以這個觀念出發，推演出其他的結果。1923年，德布羅依（de Broglie）
為了尋找一個能圓滿解釋波耳模型、並將其推廣至適用於所有原子的理論，提出了「物
質波（matter wave）」概念。該概念的核心為「波粒二象性（wave–particle
duality）」，即是說，任何物質都具有波的性質，無法定義出其確切位置。以公式表達
此學說，即為：
λ=h/p
λ是某物體的「物質波」波長，h是蒲朗克常數，p是物體的動量。
利用物質波的觀念，可進一步解釋波耳先前關於角動量的假定：原子中電子的角動量必
須是蒲朗克常數h的整數倍。推導過程如下：
考慮圓周運動的情況，則電子角動量與動量的關係為：
L = n(h/2π) = rp
r是電子與原子核的距離，亦即原子半徑。
代入德布羅依的物質波公式 λ = h/p：
nh/2π = r．h/λ
整理可得：
2πr = nλ
此式左側是圓周長，右側則是電子物質波波長的整數倍。這條公式的含意即是：電子的
物質波必須在其軌道上形成駐波，宛若某種「共鳴」。此一結果之大膽、創新，在當時
極具震撼力。
1927年，Lester Germer和Clinton Davisson以電子進行鑷金屬晶格之繞射實驗，證實了
電子確實能表現出波才有的繞射效應。德布羅依因此以物質波理論獲得1929年諾貝爾物
理學獎。
至此，似乎一切都有了合理的解釋。儘管波耳模型尚無法解釋某些原子光譜內的精細結
構，但一般相信，以物質波的觀念出發，這些結構終究能夠被其他關於電子軌道的量子
化條件所圓滿處理，一時無法解決不過是因為這些計算太過複雜罷了。原子模型的建立，
也似乎告了個段落。
然而，物質波的概念，卻在不久後引伸出了全盤否定上述所有的原子模型的理論：薛汀
格方程式。
量子力學的完備
1926年，薛汀格（Erwin Schrödinger）發表了之後被視為量子力學基石的薛汀格方程
式（Schrödinger equation）。不久之後，由此方程式推導出的氫原子模型圓滿的解釋
了所有波耳模型以及之後的一切模型都無法處理的問題，同時也徹底否定了波耳模型的
基本假設。此一推導是今日量子力學教科書上的重要章節，被視作一個經典範例。
薛汀格方程式是一個波動方程式，計算的是物體的「波函數（wave function）」--顯而
易見，此一構想與德布羅依之物質波學說有著相關性。然而，薛汀格方程式不僅僅是給
出波函數的波長，還能算出它的真實型態：「波函數」在空間和時間中的分佈型態。
利用薛汀格方程式計算氫原子，可以得到以某個正整數定義的一系列「量子化分佈」的
波函數，每個波函數又都對應一個特殊的能量--恰巧是波耳模型中，那些「穩定態」的
能量。薛汀格方程式給出了波耳模型中的結果。
除了氫原子模型，薛汀格還將他的方程式運用在其他的物理系統。比方說，他成功以這
個方程式給出了量子化的簡諧運動（simple harmonic motion）系統的波函數，並以此
計算出許多與實驗相符的結果。
然而，至此尚存在許多謎團：薛汀格未能解釋究竟「波函數」代表了什麼，更無法對
「波函數」和「物質波」間似有若無的關聯提出說明。
所幸一切隨即被玻恩（Max Born）圓滿說明：電子的波函數和電子在時空中某一點的出
現機率相關連；更精確的說法是：波函數取絕對值後再平方，就是機率分佈函數。玻恩
之後與波耳合力完備這個學說，在1927年提出了量子力學的世界觀基礎：哥本哈根詮釋。
按照哥本哈根詮釋：根據薛汀格方程式的計算結果，電子並非以「行星模型」的型態繞
行原子核，甚至也並非任何一種能稱之為「軌道」的路徑。取而代之的是「軌域
（orbital）」的概念：說明電子在原子核周遭的機率分佈，卻不說明電子核的確切位置，
此一機率分佈有時被稱為「電子雲」。
一種軌域對應一個能量，電子就在這些不同的軌域當中隨著能量的變化而躍遷，躍遷當
中散發的光線就成了不連續的原子光譜。以上是完備後的量子力學所建立的原子模型。
今日回顧，波耳的原子模型從一開始就假設錯誤，由其推導出的一系列理論和假說則對
錯參半。德布羅依的物質波概念貢獻頗大，但其細節描述同樣充滿漏洞，而「物質波在
電子軌道上形成駐波」這看似合理的「共鳴」說法也遭到棄置。
量子力學正式定於一尊，哥本哈根詮釋也成為公認最恰當的量子力學哲學詮釋。許多理
論在由古典時期過渡至此的摸索歷程中百家爭鳴，不過如今只有夠嚴謹的那些學說能夠
留存下來。至於那些過於天馬行空荒誕不經的，就逐漸消失於教科書中。
今日，科學界稱呼蒲朗克、波耳、索莫非、德布羅依等人在1920-25年間這些「半古典
（semiclassical）」的學說為「舊量子論（old quantum theory）」。儘管，這個時代
的論文往往漏洞百出、自相矛盾、語焉不詳，但其真實的反應了科學界在新舊時代交替
時，跌跌撞撞的發展歷程。
「舊量子論」的共同之處在於：它們試圖掌握「量子化」這個新概念，並用各種方法與
既有之物理學概念調和。必須指出的是，此一方式並非全然無用；相反地，時至今日，
這些「半古典」的詮釋方式依然能夠定性（qualitative）描述某些物理現象，從而指引
物理學家如何進行更詳細的定量（quantitive）研究。在許多當今的物理領域，例如量
子混沌效應（quantum chaos），這些依然是相當重要的研究工具。
結語：被省略的黃金年代
現今的高中課本，以及大多數的大學近代和量子物理教科書，均是先引入角動量量子化
的條件，再推導出波耳的氫原子模型。然而，筆者詳述波耳創立此一模型之經歷，意在
指出：科學的發展並非如此平順，反而像是在一團迷霧中慌亂的摸索又拋棄，做出各式
各樣荒誕絕倫的假定，再由實驗（往往也依賴相當粗糙的技術）做出篩選，而剩下的那
些再經過反覆不斷的修正、補完，終於成為今日習以為常地，簡潔又邏輯清晰的物理
定律。
今日，量子力學的地位顯得不可動搖。眾多的物理教科書陳述著量子力學完整且和諧的
數學架構：淺顯一點的大學普通物理教科書會從「波函數」，也就是薛汀格建立的「波
動力學」觀點入門；較高級的專業物理書籍則會提及海森堡（Werner Heisenberg）建
立的「矩陣力學」，從聽起來相當玄妙的「希爾伯特空間（Hilbert space）」建立一
系列的數學定律，再從中推導出萬千井然有序的物理定律。無論是哪一種觀點，量子力
學總是顯得完整圓滿、有條有理、基石穩固而發展穩健。
然而，我們永遠必須謹記在心的是：任何看似完整圓融的理論都有所謂的「草創時期」；
當然，量子力學也不例外。1900至1930年代的那段歲月，物理界充斥著各式各樣難以理
解的實驗結果，以及在當時看似荒謬絕倫的假設。眾多物理學界的大師彼此激烈的爭辯，
甚至相互攻訐；年輕的一輩則趁此嶄露頭角，以青春作為本錢毫無顧忌的提出革命性的
觀點。總體來說，那是個群雄並起的戰國時代，百花齊放所代表的另一層意義，是物理
世界觀的混沌：沒有人能根據這些新的理論與實驗結果，提出一個真正令所有人都信服
的「看待世界的觀念」。
而在其中，波耳的氫原子模型，或許最足以彰顯這個混亂卻又充滿希望的時代。今日回
顧此理論的建構與以此推演出的一系列討論，當年量子力學的草創歷程顯得饒富趣味。
深究這一由舊時代跨越至新時代物理世界觀的理論，能使我們更清晰的理解：科學家如
何建構一個新的理論體系。
---------------------------------------------------------------------------
參考資料：
Bohr, N (1913). On the constitution of atoms and molecules.
Philosophical Magazine 26, 1–24.
de Broglie, L (1929). The wave nature of the electron. Nobel Lectures.
[data file] Retrieved from
http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1929/broglie-lecture.pdf
Eisberg, R & Resnick, R (1985). Bohr's model of the atom.
Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.)
85-123.
--
http://caseypie-bard.blogspot.com/
--
※ 發信站: 批踢踢兔(ptt2.cc)
◆ From: 128.146.35.245