※ [本文轉錄自 Math 看板]
作者: yhliu (老怪物) 看板: Math
標題: Re: [問題] 期望值
時間: Sun May 29 20:18:55 2005
※ 引述《flymath (flymath)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 tutor 看板]
: 作者: flymath (flymath) 看板: tutor
: 標題: [問題] 期望值
: 時間: Sat May 28 22:44:23 2005
: 關於期望值
: 舉個例.. 紅球5顆..白球3顆..任取兩球..求紅球個數的期望值
: 一種說法是..先算取1顆紅球的期望值再乘以二
: 5/8 x 2 = 10/8 = 5/4
我想疑問只發生在這種算法, 第二種算法及後面的討論就
刪去以免太冗長.
題目是問 "紅球個數" 的期望值.
而如果把 "抽兩個球" 分解成兩次抽球, 每次得紅球的個
數是 0 或 1, 而兩次抽球的紅球總數,就是 "抽兩球得到
的紅球數".
因此, 令題目要計算期望值的紅球數為隨機變數 Y, 而兩
次抽球的紅球數分別是 X1, X2. 則 Y = X1 + X2.
如果高中有談到期望值公式 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2],
那問題就解決了! Y=X1+X2, 當然得 E[Y]=E[X1]+E[X2].
至於 "乘以 2" 是因 E[X1]=E[X2].
但在 "抽出第一球後不放回" 而總球數有限的情況, 為甚
麼 E[X1]=E[X2] 還需要解釋一下.
事實上 "抽出後不放回" 會影響 "已知 X1 的結果時" X2
的條件機率; 但對 X2 的 "無條件機率" 不會有影響.
如果還沒講到 E[X1+X2] = E[X1] + E[X2] 這公式, 則需
向學生解釋這公式為甚麼會成立. 這其實只是根據一個基
本觀念:
期望值 是 各可能情形的目標值與其發生機率乘積和.
因此, E[X1+X2} 就是 (X1, X2) 各種組成之下 X1+X2 的
值與各該組成機率之和. 既然在每一種組成之下
左邊 = (X1+X2 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率)
右邊 = (X1 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率)
+(X2 的值) ×(這組 (X1,X2) 的機率)
左右恆相等, 兩邊各自加總後結果當然也相等.
這樣的方法擴充到抽多次球, 甚至 X1, X2,...不是 0-1
隨機變數或其分布不同, 也是對的.
舉例來說: 假設 7-11 的 Hello Kitty 每一種都一樣多,
平均要蒐集幾份才能得到完整一整套31種? 令 Xi 代表蒐
集到第 i 種所需次數, 則 P[X1=1]=1 (即:第一份一定是
新的!)
E[Xi] = 31/(32-i)
已蒐集 i-1 種, 要蒐集到第 i 種平均要再取得
31/(32-i) 份.
所以得要蒐集的 Hello Kitty 數 Y=X1+...+X36 的期望
值是
E[Y] = E[X1] + .... +E[X36]
= 1 + 31/30 + 31/29 + .... + 31/1
= 31．(1/31+1/30+...+1)
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