推 mangogogo:PUSH 02/13 23:40
※ 引述《NightAngel (想喝什麼都可以)》之銘言：
> α與β都是犯下錯誤的機率
> 所以理想上如果α與β都很小是最好的狀況
> 但是α與β 除非增加樣本數 才會同時變小
> 如果在樣本數固定的狀況下
> 應該採用α最小或β最小的決策法則呢?
> 書上說應該Minβ
> 但是這個地方我不懂
> 為什麼不是選擇α最小的?
> 顯著水準越高不是代表檢定的可信度越高嗎?
> 煩請各位老師助教學長解答../_\...(有觀念錯誤的地方請盡量批)
> 我好想學好統計阿...可是好多觀念都霧煞煞...><
為甚麼要 minimize β? 而不是 minimize α?
首先, 必須先釐清符號 α, β 的意義, 因為它們可能在
不同時候被付予不同意義, 例如α常被用以代表 "顯著水
準"。此處的α, β, 應分別指型Ｉ誤與型II誤的機率:
α = P(reject H0;θ) when θ in H0
β = P(not reject H0; θ) when θ not in H0
注意若將上列定義都擴充到整個參數空間, 則對任何θ,
都可得 α+β=1. 因此, 降低兩者之一, 常代表 reject
或 not reject 區域的消長, 故另一項勢必提高。
統計推論問題常像這樣, 多狀態且多目標。我們當然希望
找到一種決策規則(一種統計推論程序), 在不同狀態下都
能獲得各目標達最優。但即使單目標多狀態(點估計問題)
或單狀態多目標(多目標數學規劃問題), 也常不能如意,
何況多狀態多目標的統計推論問題?
最簡單的假說檢定問題, 是二狀態二目標的問題:
狀態 1: θ=θ0, 狀態 2: θ=θ1.
目標 1: 型Ｉ誤的機率愈低愈好;
目標 2: 型II誤的機率愈低愈好。
這問題有個好處是因 "型Ｉ誤" 只發生於狀態1, θ=θ0;
而 "型II誤" 只發生於狀態2, θ=θ1. 因此, 目標*狀態
整合, 形似單狀態雙目標。
雖然上列 simple hypothesis <---> simple hypothesis
的假說檢定問題已簡化成單狀態二目標, 但兩目標仍如前
述會有衝突情況. 就像若投資無風險, 回收期不同, 當然
很簡單地直接考慮報酬率最高的。但若不同投資標的除了
報酬率不同之外, 還有回收期或變現能力之不同, 還有風
險之不同, 因此投資的決定不再是簡單問題。
對於多目標問題, 在目標間會有衝突或相依性的情況下,
通常必須把它整合成單目標。整合的方式中, 最簡單的是
加權平均及目標優先排序兩種.
就簡單假說檢定問題, 加權的方式就是:
minimize γα+λβ
其中 γ, λ 可以根據犯型Ｉ誤及型II誤所可能招致的實
際損失決定, 也可再考慮 "狀態1" 及 "狀態2" 會成立的
相對可能性來決定. 這對應到所謂 "決策理論", "貝氏決
策理論" 的方法。
Neymann and Pearson 的想法則是採用目標優先排序。在
N & P 檢定方法, 虛無假說(H0)與對立假說(H1)不是對等
的; 型Ｉ誤與型II誤也不是對等的。事實上在這所謂 "傳
統方法" 中, 虛無假說是
"除非有充分證據可推翻它, 否則就只好接受."
就像刑事案件的裁判,
"除非有足夠證據證明嫌犯有罪, 否則推定無罪."
因此, 犯型Ｉ誤的機率大小, 是優先要被關心的。所以,
N & P 檢定方法, 採取下列程序:
(1) 犯型Ｉ誤的機率首先要被限制達到一個合理目標。
於是, 針對特定問題, 需衡量實際情況決定這所謂
"合理目標" 是啥。也就是先決定一個 "顯著水準"
α0, 要求 α≦α0.
(2) 型II誤的機率大小也是要關心的, 但是在 α≦α0,
也就是第一個目標達成的條件下才來考慮。
這就是要 minimize β 的道理!
以上是在 simple vs. simple 的假說檢定問題來談的.
對於複合假說檢定問題, 當然可以以發現要 fix β 而來
minimize α, 比上列簡單假說檢定問題更複雜些。
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海