Re: [統計] Poisson 轉 Gamma的證明

[jangwei (呆呆)]

※ 引述《chrisjon (研究布丁狗)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Math 看板]
: 作者: chrisjon (研究布丁狗) 看板: Math
: 標題: [統計] Poisson 轉 Gamma的證明
: 時間: Fri Jan 12 15:55:25 2007
: 算到後來
:           α-1
: F(Z) = 1 - Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
:            y=0
: 簡單的說就是Y ～ Poisson(λz)
: F(Z)是P(Z≦α-1)
: 然後
:                 λ^α
: f(z) = F'(Z) = ──── z^(α-1)e^(-λz)
:                 (α-1)!
: 我主要想問的是：離散的Poisson怎麼做積分?
: 謝謝

我試著用你的符號來思考你的問題,
若Y ～ Poisson(λz)
  Z ～ Gamma(α,λ)

則下列等式恆成立:

P(Z<=z)=P(Y>=α)

亦即
           α-1
 F(z) = 1 - Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
            y=0
         ∞
      =  Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
        y=α

而你想導出Z的pdf為:

                 λ^α
 f(z) = F'(z) = ──── z^(α-1)e^(-λz)
                 (α-1)!

因為Z為一連續隨變數,自然可以微分......
推導如下:

 f(z) = F'(z)

       d    ∞
      =---  Σ (λz)^y e^(-λz) / y!
       dz   y=α

         ∞
      =  Σ [λy(λz)^y-1] e^(-λz) / y!
        y=α


         ∞
      +  Σ (λz)^y [(-λ)e^(-λz) / y!]
        y=α

           ∞
      =λ  Σ e^(-λz)[(λz)^(y-1)/(y-1)!]
          y=α


          ∞
      -λ Σ e^(-λz)[(λz)^y/y!]
          y=α


          λ^α
      = ──── z^(α-1)e^(-λz)
         (α-1)!

呼.......真得不喜歡用bbs打數學符號..........

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◆ From: 140.129.34.115
推 suntimes:其實還沒仔細看，但是你做的真漂亮XD
推 jangwei:發現原po有些大小寫有問題,我改一下.....
※ 編輯: jangwei         來自: 140.129.34.115       (01/12 17:43)
推 chrisjon:沒啊!我是照課本寫的，課本是寫大寫沒錯
推 uso1626:恩...課本寫的不一定對
→ chrisjon:可能是打錯了吧…y大噹很大=.,="
推 allen1985:因為大寫小有意義上的不同 所以不只是兩個符號