Ｄ Pr
Suppose Ｘ_n ──→ Ｘ and Ｙ_n ──→ ０, then
Ｄ툊 Ｘ_n＋Ｙ_n ──→ Ｘ
[pf]
Let x be a point of continuity of Ｆ (x).
Ｘ
Let ε＞0 be given. We have
┌ ┐ ┌ ┐
P│Ｘ_n＋Ｙ_n≦x│＝P│{Ｘ_n＋Ｙ_n≦x}∩{│Ｘ_n＋Ｙ_n－Ｘ│＜ε}│＋
└ ┘ └ ┘
┌ ┐
P│{Ｘ_n＋Ｙ_n≦x}∩{│Ｘ_n＋Ｙ_n－Ｘ│≧ε}│
└ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
≦P│Ｘ≦x＋ε│＋P││Ｘ_n＋Ｙ_n－Ｘ│≧ε}│
└ ┘ └ ┘
where
┌ ┐ ┌ ┐
P││Ｘ_n＋Ｙ_n－Ｘ│≧ε}│≦P││Ｘ_n－Ｘ│＋│Ｙ_n│≧ε│
└ ┘ └ ┘
┌ ε ε ┐
≦1－P││Ｘ_n－Ｘ│＜──,│Ｙ_n│＜──│
└ 2 2 ┘
┌ ε ┐ ┌ ε ┐
≦2－P││Ｘ_n－Ｘ│＜──│－P││Ｙ_n│＜──│
└ 2 ┘ └ 2 ┘
┌ ε ┐ ┌ ε ┐
＝P││Ｘ_n－Ｘ│≧──│＋P││Ｙ_n│≧──│
└ 2 ┘ └ 2 ┘
___ ┌ ε ┐
Claim : lim P││Ｘ_n－Ｘ│≧──│＝0
n→∞ └ 2 ┘
我可以這樣 claim 嗎 ? 如果是這樣的話
可以証出
___ ┌ ┐
lim P│Ｘ_n＋Ｙ_n≦x│≦Ｆ (x＋ε)
n→∞ └ ┘ Ｘ
再令 ε→0 得到一個上界
可是那個 claim 我弄不出來 ( 也就是問說
Ｘ_n converges to Ｘ in distribution 會 imply
Ｘ_n－Ｘ converges in probability to 0 嗎 ?
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我兜了好久兜不出來^^
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