※ 引述《jakevin ()》之銘言：
: pgf
: φx(t)=Mx(lnt)
: 取一次微分 t=0 ， 得到 期望值
: 取二次微分 t=0 ， 得到 變異數
: 這應該沒錯吧 ＠＠
前面老怪物都回了,書上也有相關說明.
為什麼不仔細看呢?
: ※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
:此生成函數(母函數), 若在 1 的某 neighborhood 存在,
:又稱 "階乘動差母函數"(factorial moment generating
:function, 簡記 f.m.g.f.), 因它在 t=1 之 k 階導數等
:於 E[X(X-1)...(X-k+1)] 之故.
你自己微分看看就該知道,
代t=0有何意義呢?
X
φ (t)= E(t )
X
設此機率生成函數在各階導函數存在(至少在t=1的neihgborhood存在),
則
X-1
φ'(t)= E(Xt ) 故
X
=> φ'(1)= E(X )
X
X-2
φ"(t)= E(X(X-1)t ) 故
X
=> φ"(1)= E( X(X-1) )
X
.........
同理可得pgf的k階導函數在t=1時的函數值
(k) X-k
φ (t)= E{X(X-1)...[X-(k-1)]t } 故
X
(k)
=> φ (1)= E{X(X-1)...[X-(k-1)]}
X
不要把PGF與MGF間關係
φ (t)= M (lnt) (事實上,此式是有條件下才能成立,自己想一下)
X X
與累積生成函數與MGF間關係搞混了
K (t) =ln M (t)
X X
你這樣有時會誤導別人的!!!
: ※ 引述《yhliu (老怪物)》之銘言：
: : 累差母函數 (cumulant generating function) 是 m.g.f.
: : 的自然對數, 所以它也是 m.g.f.?
: : Cos(x) = Sin(π/2-x),
: : 所以餘弦函數也可當做正弦函數?
: : X~F(x), 連續, 則 F(X)～uniform(0,1),
: : 所以所有連續分布都可以說是 standard uniform distribution?
: : p.g.f. 就是 p.g.f., 雖然與 m.g.f. 有關係, 又怎能把
: : p.g.f. 稱做 m.g.f.? 更何況 p.g.f. 與 m.g.f. 存在條
: : 件不同?
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