我已有查一些數統和機率的書
只是大部份還是採用動差母函數來證明而已
當然其中也不乏有書提過
"因為要證明其二階動差存在才能套用ＣＬＴ 所以用特徵函數來證是較嚴謹的"
只是提歸提 證明的時候還是略過特徵函數
以下是我從某本書抄下來的利用特徵函數來證明的過程
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令 Z=(X-μ)/(σ/√n)
n
Ψ(t)=E(e^itZ) = exp{-it√nμ/σ} * π E( exp{itX(j)/(√nσ)} ) ..(1)
j=1
=exp(-it√nμ/σ) * [Ψ(t/√nσ)]^n ..(2)
=exp(-it√nμ/σ) * exp{n *ln[Ψ(√nσ)]} ..(3)
=exp{n*[ln[Ψ(t/√nσ) - iμ(t/√nσ)]]} ..(4)
t^2 ln[Ψ(t/√nσ) - iμ(t/√nσ)]
=exp{──*────────────────} ..(5)
σ^2 (t/√nσ)^2
ln[Ψ(t)]-iμt (d/dt)Ψ(t) ／ Ψ(t) - iμ
lim ─────── = lim ────────────── ..(6)
t→0 t^2 t→0 2t
(d^2/dt^2)Ψ(t) * Ψ(t) - [(d/dt) Ψ(t)]^2
=lim ────────────────────── = -(σ^2)/2 ..(7)
t→0 2*[Ψ(t)]^2
所以lim Ψ(t)= exp(-t^2 ／ 2) (by (5) & (6) )
n→∞
_ d
所以by P.Levy連續性定理和chf唯一 可得 (X-μ)/√nσ ─→ N(0,1)
只是我不太懂
在第六式和第七式裡面
最主要就是在說明其二階動差存在嗎？
是否就是因為這樣的區別
所以才要用這個來證？
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∫εδ≧≦∵∴√→∞^Σπ÷˙
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