推 kim:謝謝y大 02/08 21:50
※ 引述《kim.bbs@ptt.cc (蚵仔咧？蚵仔咧？)》之銘言：
> 我已有查一些數統和機率的書
> 只是大部份還是採用動差母函數來證明而已
> 當然其中也不乏有書提過
> "因為要證明其二階動差存在才能套用ＣＬＴ 所以用特徵函數來證是較嚴謹的"
> 只是提歸提 證明的時候還是略過特徵函數
> 以下是我從某本書抄下來的利用特徵函數來證明的過程
既然考慮嚴謹性, 既然用 ch.f., 就必須知道: ch.f. 是
複數值的. 那麼, 一個複數的 "對數" 並非唯一定義的.
因此, 避免取對數吧!
若 X 的二階動差存在. 利用
|e^{itx} -(1+itx-(tx)^2/2)|
≦ min{|x|^{n+1}/(n+1)!, 2|x|^n/n!}
得
ψ(t)≡E[e^{itX}] = 1 + it E[X] - (t^2/2)E[X^2] + o(t^2)
令 Sn=ΣXi, Zn=(Sn-nμ)/√(nσ^2), 其中 μ=E[Xi],
σ^2 = Var[Xi]. 則 Zn 之 ch.f. 為
Ψn(t) = E[e^{it Zn}]
= e^{-it(√n)μ/σ {ψ(t/(√nσ))}^n
不失一般性, 令 μ=0 且 σ^2=1, 則
Ψn(t) = {1-t^2/(2n)+o(t^2/n)}^n
Lemma:
設 z_i, w_i, i=1,...,n, 為絕對值小於 1 的複數, 則
|z_1 z_2 ... z_n - w_1 w_2...w_n|
≦ Σ|z_i - w_i|
故
|Ψn(t) - [1-t^2/(2n)]^n|
≦ n o(t^2/n) = t^2 o(1) 當 n→∞
即
lim |Ψn(t) - [1-t^2/(2n)]^n| = 0
n→∞
故
lim Ψn(t) = lim (1-t^2/(2n))^n = e^{-t^2/2}
n→∞ n→∞
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夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已而用之恬淡為上勝而不美而美之者是樂殺人夫樂殺人者則不可得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將知止知止可以不殆譬道之在天 163.15.188.87海