[問題] 一題計算事後機率的貝式估計

[buttermilk (脫脂牛奶)]

Let Y be the sum of the observations of a random sample from a Poisson

distribution with mean θ. Let the prior p.d.f. of θ be a gamma one with

parameters α and β.

(a) Find the posterior p.d.f. of θ, given Y = y.

(b), (c)題目不打，因為我應該會算。

我的做法如下：

Let Y = X_1 + X_2 + ... + X_n, where X_i ~ Poisson(θ).

              1
h(θ) = ------------- θ^(α-1)﹒e^(-θ/β)
         Γ(α)β^α

E(Y) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nθ

Var(Y) = Var(X_1 + X_2 + ... + X_n) = nθ

∴ Y ~ Poisson(nθ)

               (nθ)^y﹒e^(-nθ)
=> g(y|θ) = --------------------
                     y!


k(θ|y) ￡ g(y|θ)h(θ)            ( ￡符號表成正比 )

                (nθ)^y﹒e^(-nθ)    θ^(α-1)﹒e^(-θ/β)
           =  -------------------﹒-----------------------
                       y!               Γ(α)β^α

k(θ|y)  ￡ θ^(α+y-1)﹒e^[-θ(n + 1/β)]


Thus the posterior p.d.f. of θ is gamma with parameters α+y and

1/(n+1/β).


PS：請問我整題這樣寫對不對？
    還有，從黃色推到綠色的部份對不對？
    是不是找到隨機變數的mean和variance後，它的分配就確定了？
    所以我找到Y的mean和variance都是一樣的，因此Y~Poisson(nθ)。

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◆ From: 203.203.242.21
推 yhliu:你已經用 prior p.d.f. 與 likelihood 導出 posterior p.d.f
→ yhliu:何必管甚麼 mean=variance 與否?
→ yhliu:雖然 Poisson 的 mean=variance, 但那並非充要條件.
推 onlytks3:只能說強 ^^
推 buttermilk:我是用Y~Poisson(nθ)寫出g(y|θ)的
→ buttermilk:知道Y~Poisson(nθ)是因為我的黃色部分
→ buttermilk:但h大又說μ=σ^2與Poisson分配並非互為充要條件
→ buttermilk:請告訴我如何用正確的過程算出g(y|θ)
推 yhliu:Poisson 分布具所謂 "再生性". 這應是基本練習.
推 buttermilk:我有看教本(Hogg&Tanis)，但沒看到什麼Poisson的再生性
→ buttermilk:請問是我眼花沒看到，還是哪本書上有呢？謝謝。