移動平均 (moving average) 在時間數列問題上有三種不
同意義:
(1) 移動平均法求趨勢值 (資料修勻);
(2) 移動平均法預測 (無趨勢之時間數列預測);
(3) 移動平均時間數列模型 (B-J 之 ARIMA 模型特例).
移動平均法求趨勢值, 是一種直觀而有用的方法. 但用於
計算季節變動或循環變動是有用的; 如要用於預測, 卻有
些小麻煩.
假設時間數列可以 TCSI 模式寫成
Yt = Tt + Ct + St + It
假設 Yt 是季資料, 則四季移動平均再加置中的結果, 實
際用了五季的資料:
At = (0.5 Y(t-2) + Y(t-1) + Yt + Y(t+1) + 0.5 Y(t+2))/4
= (0.5 T(t-2) + ...+ 0.5 T(t+2))/4
+ (0.5 C(t-2) + ... + 0.5 C(t+2))/4
+[(S(t-2)+...+S(t+1))/4+(S(t-1)+...+S(t+2))/4]/2
+ (0.5 I(t-2) + ... + 0.5 I(t+2))/4
其中季節變動若很固定則將被消除. 長期趨勢若接近直線
形時可得
(0.5 T(t-2) + ...+ 0.5 T(t+2))/4 ≒ T(t)
循環變動也可做如是觀. 因此
At ≒ Tt + Ct + I't
其中 I't = (0.5 I(t-2) + ... + 0.5 I(t+2))/4, 基於
不規則變動主要是隨機變動的假設, 是比 It 還小的隨機
誤差項 (但相鄰兩期間有不小的正相關). 所以
Yt - At ≒ St + I"t
其中 I"t = It - I't.
對於循環變動, 如果能抓到循環週期, 可類似處理季節變
動一般方式處理. 只是循環變動一般不像季節變動有那麼
明顯的週期; 事實上循環變動的週期恐怕不是那麼固定.
因此, 循環變動的估計, 頂多也只是 "大概" 而已.
若 Yt = Tt．Ct．St．It, 簡單記為 Yt = Wt．St, 則
At = (0.5 W(t-2)S(t-2) + W(t-1)S(t-1) + W(t)S(t)
+ W(t+1)S(t+1) + 0.5 W(t+2)S(t+2))/4
= W'(t){[(S(t-2)+...+S(t+1))/4+(S(t-1)+...+S(t+2))/4]/2}
在季節變動很固定而以季節因子表示, 且季節因子一週期
平均為 1 時, 仍不能複製出 At = Wt 而只得 At = W't,
W't 不見得是 Wt 很好的估計值. 不過, 以一個季節循環
週期而言, 可認為 Tt, Ct 接近常數, 而 It 與 St 正交
(零相關), 於是可認為 W't ≒ Tt．Ct．I't. 因此
Yt/At ≒ St．I"t, 其中 I"t = (It)/(I't)
對於以長展期移動平均處理循環變動的問題, 由以上討論
可知在相乘模型可能仍存在偏誤 (不能假設在一個循環週
期內 Tt 接近常數).
由以上討論, 誠然移動平均法找時間數列趨勢免不了有偏
(長期趨勢非直線型、伴隨有循環變動或成分組合非相加),
但大致上不致偏離真實趨勢 (或 T+C) 太多.
但在移動平均預測,
t 期領先 1 期之預測值 P(t,1)
= (Y(t-k+1)+...+Y(t))/k
若時間數列有任何系統性變動, 除非變動週期正好是 k,
否則是完全 "張冠李戴" 的預測. 考慮
Y(t) = M(t) + e(t)
則
P(t,1) = (M(t-k+1)+...+M(t))/k + e'(t)
其中 e'(t) 是隨機誤差項 e(t) 之移動平均. P(t,1) 是
時間 t 時對時間 t+1 的預測值. 而移動平均法, 除隨機
誤差項外, 是以過去 k 期的平均值或趨勢值來當 t+1 期
的預測值. 以股票價格來說, 效率市場假說之下股價之對
數可以隨機踱步模型表示:
log P(t) = log P(t-1) + log (1+r) + a(t)
其中 r 是期望報酬率. 因此
log P(t) = log P(0) + t log(1+r) + (a(1)+...+a(t))
第 t+1 期的股價應是
log P(t+1) = log P(0) + (t+1) log(1+r) + (a(1)+...+a(t)+a(t+1))
而 k 期移動平均預測值, 如果以對數值來做, 是
log P(t,1) = log P(0) + (t-k/2)log(1+r)
+ (a(1)+...+a(t-k)) +(a(t-k+1)+...+a(t))/k
除卻代表隨檮誤差的諸 a(t) 不論之外, 除非 r=0, 否則
預測值與實際值之間冰遠存在一道鴻溝! 並且移動平均展
期愈長, 這道鴻溝愈大.
所以, 投資者奉為寶貝的技術分析基石, 移動平均線, 從
理論上來說, 根本是亂套公式的結果啊! (四面八方飛來石塊木棍...)
投資專家可能要說話: 你那甚麼xx理論敢說移動平均線沒
用? 事賓勝於雄辯! 市場每每驗證了技術分析理論!
喔! yes! 因為 "信仰產生力量!" 當大家相信死亡交叉出
現就要趕快逃命保本甚至做空時, 大量賣壓湧現, 股價焉
能不跌? 當大家相信平均線指出買點已現或不要再盲目狂
殺時, 市場焉能不因大量買氣或惜售而回漲或止跌?
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yhliu 在 07/03/19 12:29:47 從 163.15.188.87 修改這篇文章