※ 引述《allen1985 (態度)》之銘言：
: ※ 引述《hi123 (hi123)》之銘言：
: : For any random variables X and Y,
: : (1)is X and Y-E(Y|X) correlated or not ?
: : (2)let minE[(Y-g(X))^2] = E[(Y-g*(X))^2],then g*(X) = ?
: : g(X)
: : 第1小題我會 答案是不相關
: : 想請問第2小題的作法
: : 謝謝～
: 試著
: E(Y-g(x))^2 = E[(Y-E(Y|X))+(E(Y|X)-g(X))]^2
: =E[Y-E(Y|X)]^2 + E[E(Y|X)-X]^2 + 2E[(Y-E(Y|X))(E(Y|X)-g(X))]
: =...
: 其中 証明此項 E[(Y-E(Y|X))(E(Y|X)-g(X))] = 0
: 應該就可以解出來了！
請問以下我的作法是對的嗎？
條件期望值的部份我不是很熟悉..
E[(Y-E(Y|X))(E(Y|X)-g(X))]
= EE[(Y-E(Y|X))(E(Y|X)-g(X)) |X]
= EE[YE(Y|X)-Yg(X)-E(Y|X)E(Y|X)+E(Y|X)g(X) |X]
=E[YE(Y|X)|X]-E[Yg(X)|X]-E[E(Y|X)E(Y|X)|X]+E[E(Y|X)g(X)|X]
=E(Y|X)E[Y|X]-g(X)E[Y|X]-E(Y|X)E(Y|X)+E(Y|X)g(X)
=0
∴原式＝0
謝謝
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