[問題]關於moment-generating function

[ashugh (hugh)]

　wackerly書上有提到一段說

　假設Y1 Y2獨立　U=Y1+Y2

  則Mu(t)=My1(t)*My2(t) 註:M表moment generating function

  我的疑問是這個性質是否可逆？

　意即若Mu(t)=My1(t)*My2(t) 其中U=Y1+Y2

  可否說Y1與Y2獨立呢？

　我是在作wackerly習題5.111時想到的

　題目是問 若Y1 Y2獨立且各為normal u1 u2 variance相同

　則試證U1=Y1+Y2與U2=Y1-Y2為獨立且為二元常態

　獨立我是想到用moment來證......但是不確定上述性質是否可逆?!

  ２元常態我就沒法子了

  請有能者幫忙解答一下吧！

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◆ From: 140.119.204.48
推 dick0631:不會相等!獨立和不相關是不同的。try COV(x,y)=0
→ ashugh:不會相等?是指不可逆嗎?  另外,就算cov=0,要怎麼證明獨立呢
→ ashugh:除非先證出2元常態~不然沒辦法光cov=0就算獨立不是嗎?
→ ashugh:算出來了~用jacobian先弄出2元常態~再用cov=0證明獨立!
推 qhair:先算出f(u,v)，再看能不能把f(u,v)拆成g(u)*h(v)
→ qhair:可以拆（找的到g跟h）就是獨立啦...
→ ashugh:可以拆啊~不過光算出2元常態就蠻累了~拆開不如cov=0容易
→ ashugh:cov(U1,U2)=EU1U2-EU1EU2=EY1^2-EY2^2-(EY1)^2+(EY2)^2=0
推 dick0631:我只是說不可逆。若獨立E(XY)=E(X)E(Y)，所以COV(X,Y)=0
→ dick0631:反過來E(XY)=E(X)E(Y)，並無法證明X,Y獨立。
→ dick0631:二元常態的CASE，比較簡單的作法就是証COV(X,Y)=0
→ dick0631:証完之後，把結果代入f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y
→ dick0631:考試最好用變數轉換証明f(x,y)=f(x)*f(y) for all x,y
→ ashugh:dick大的方法應該是適用在已知2元常態的情況下吧?!
→ ashugh:所以到頭來還是要先弄出2元常態~不然甚麼都免談~!.!
推 qhair:2元常態可以用任意線性轉換後還是單變數常態來證