Re: [問題] 成大考古題

[cmky (大毛)]

※ 引述《slamdunk1011 (1031)》之銘言：
: 若隨機變數X1,X2,...,Xn均獨立且同具有B(1,p)分配，試求X之變異數的U.M.V.U.E.
: 解答：
: V(X)=p(1-p),f(x|p)=p^x(1-p)^(1-x)=(1-p)e^[x(lnp-ln(1-p))]為指數簇
:       _               _   _
: ΣXi或X為p之充分，因E(X(1-X))=((n-1)/n)p(1-p)
:              _   _
: 故E[(n/(n-1))X(1-X)]=p(1-p)
:                     _   _
: 由R-B定理知(n/(n-1))X(1-X)為p(1-p)之UMVUE
: 請問：
:   _   _
: E(X(1-X))怎麼算的？
: 我怎麼算都算不出一樣的答案…
: 謝謝

X1,X2......,Xn  iid~B(1,p)
                               _
ΣXi~Bin(n,p) E(ΣXi)=np  => E(X)=p
                                       _
              Var(ΣXi)=np(1-p) => Var(X)=np(1-p)/n^2 =p(1-p)/n
                _        _     _
              E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2 = p(1-p)/n  +  p^2
                _   _     _ _
            =>E(X(1-X))=E(X-X^2)=p - p(1-p)/n -p^2

                                =p(1-p) - p(1-p)/n

                                =p(1-p)(1-1/n)

                                =p(1-p)((n-1)/n)
                         _   _
            =>E{(n/(n-1))X(1-X)}=p(1-p)  ..............

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◆ From: 219.84.62.243
※ 編輯: cmky            來自: 219.84.62.243        (02/01 13:09)
推 slamdunk1011:謝謝