Re: [問題] Stochastic Dominance

[b218h (Gordon Mercer)]

This is not true unless we require m(‧) is nonnegative.

A counterexample is as follows:

    Let                          ╭ 0,        x≦0
                                 │
                       X~F_1(x)＝┤x^(2/3)    0≦x≦1
                                 │
                                 ╰ 1         x＞1

                                 ╭ 0,        y<1/3
                                 │
                       Y~F_2(y)＝┤(3y－1)/2  1/3≦y≦1
                                 │
                                 ╰ 1,        y＞1

                       m(t)＝t－1, increasing, negative on (0,1)

Then                   －12/20＝E[m(X)]＞E[m(Y)]＝－15/20 
                                                                  

※ 引述《Rubyfish (過去的已不再重要)》之銘言：
: 你先把 E[m(X)] 用積分的形式寫出來
: 然後再表示成分部積分的樣子
: 相同的做法對於 E[m(Y)] 也是
: 然後    E[m(X)] - E[m(Y)]
: 你會發現分部積分的前面那項  兩者是相同的!!
: 於是就比較後面那項
: 你就會得到  積分 m'(t) (Fy - Fx) dt
: 因為 P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: 所以 (Fy - Fx) <= 0
: 所以  積分 m'(t) (Fy - Fx) dt  <= 0
:        E[m(X)] - E[m(y)] <= 0
: ※ 引述《b218h (Gordon Mercer)》之銘言：
: :  Let X,Y be two random variables with the following properties:
: : For all c in |R,
: :                               P(X≦c) ≧ P(Y≦c)
: : Let m(‧) be a monotone increasing function. Show that
: :                                E[m(X)]≦E[m(Y)]

--
My Blog

http://www.b218h.blogspot.com

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 154.20.158.117
→ yhliu:檢查一下你的計算! m(x)=x-1 與 m(x)=x 的結果不會矛盾.
→ b218h:阿  算錯了...
→ b218h:ok 我沒問題了 :-)
→ b218h:感謝原Po
推 lin15:原Po不就b218h XD
→ b218h:綠色那篇啦^^