[問題] E(SSE) 過程推導

[piyu (毓)]

                                    iid
Y=b0+b1X1+....+b_(k-1)X_(k-1)+ε ,ε ~  N(0,σ^2)
                                    indep
                                  Yi  ~   N(μi ,σ^2)

Y：由k-1個解釋變數組成的複迴歸

E(SSE)=E(Σ（Y_i-Y_i(hat)）^2)

      =ΣE[（Y_i-μ_i）-（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））+（μ_i-E（Y_i(hat)））]^2
      ?
      =ΣE（Y_i-μ_i）^2 -ΣE（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））^2

               +Σ（μ_i-E（Y_i(hat)）^2

請問這個等號怎麼來的？

將第二個等號中間展開後，我只能推出下列式子

 ΣE（Y_i-μ_i）^2 +ΣE（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））^2 +Σ（μ_i-E（Y_i(hat)）^2

   -2ΣE（Y_i-μ_i）（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））

   +2ΣE（Y_i-μ_i）（μ_i-E（Y_i(hat)）
       ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
               ||
                0
   -2ΣE（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））（μ_i-E（Y_i(hat)）
       ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
               ||
                0
從結果來看 應該是

    E（Y_i-μ_i）（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)）） = E（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））^2

所以得到一開始第三個等號的式子，請問這是怎麼來的呀？

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.165.177.145
推 selient:怎會這麼複雜？這在算什麼
→ Angesi:我記得這應該是個美好的結果才對
→ yhliu:哪來 μ? E[Y_i] = E[Y_i(hat)] = μ_i
→ yhliu:用矩陣才好做.
→ yhliu:Σ(y_i-μ_i)(y_i(hat)-μ_i) =
→ yhliu:  Σ(y_i-y_i(hat))(y_i(hat)-μ_i) + Σ(y_i(hat)-μ_i)^2
→ yhliu:第一項期望值是 0.
→ yhliu:因此 E[SSE] = E[Σ(y_i-μ_i)^2] - E[Σ(y_i(hat)-μ_i)^2]
※ 編輯: piyu            來自: 118.165.171.111      (11/21 10:33)
→ piyu:我需要利用這個式子來證Mallow's Cp 所以看起來很複雜..>"<
→ piyu:謝謝y大的解釋
→ yhliu:更正: 既然是 Cp 的問題, model 不一定正確, E[y_i(hat)] 不
→ yhliu:一定等於 μ_i, 也就是 Σ(y_i-y_i(hat))(y_i(hat)-μ_i) 的
→ yhliu:期望值不一定是 0, 而是 -Σ(μ_i-E[y_i(hat)])μ_i
→ yhliu:你的最後一式 E（Y_i-μ_i）（Y_i(hat)-E（Y_i(hat)））=
→ yhliu:E[(Y_i-Y_i(hat)+Y_i(hat)-E[Y_i(hat)]+E[Y_i(hat)]-μ_i)*
→ yhliu:                   (Y_i(hat)-E[Y_i(hat)])]
→ yhliu:分三項, E[(E[Y_i(hat)]-μ_i)*(Y_i(hat)-E[Y_i(hat)])] 顯
→ yhliu:然是 0.....sorry! 上面都漏了總和號!
→ yhliu:Σ(y_i-y_i(hat))y_i(hat)=0. 故第一項
→ yhliu:E[Σ(Y_i-Y_i(hat))(Y_i(hat)-E[Y_i(hat)]) =
→ yhliu:  - E[Σ(Y_i-Y_i(hat))E[Y_i(hat)] 也應易得證為 0
→ yhliu:方法如證 Σ(y_i-y_i(hat))y_i(hat)=0, 都來自 normal eqs.
→ piyu:謝謝y大解釋 總算完全懂了 ^^
→ sneak:             http://yofuk.com