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Jensen Inequality
1. Let X be a random variable with finite mean E(X),
and let g() be a convex function, then E[g(x)]≧g[E(X)]
2 If g() is strictly convex function,
X is not a degenerate r.v. E(X) <∞ ,then E[g(x)]>g[E(X)]
我的想法與疑問:
以上兩個定義是我們老師給的
我對第一個比較沒有問題
我可利用泰勒展開式去證明,如下
對 x=μ作展開
令 g(x) = g(x) +g'(x)(x-μ)+g''(x)(x-μ)^2 +.......
----------- --------------
1! 2!
左右兩式取期望值
E[g(x)] = g(μ) +g'(μ)(E(x)-μ)+g''(μ) E(x-μ)^2 +....
~~~~~~~~~
= 0
=> E[g(x)] ≧ g(μ)
對於第二個的定義的"退化r.v."是指變異數等於零的時候嗎？？
那是不是求算出他的變異數不等於零，而且他的期望值又有限的話
是不是就代表為嚴格凸函數，也就會成立E[g(x)]>g[E(x)]
我這樣的說法對嗎？？
那像這題該怎麼去判別：
3
假設 g(x) = ∣x∣
該怎麼判別是否為嚴格凸函數
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◆ From: 118.169.30.51