Re: [討論] 有關名次問題(有點一言難盡 )

[ADORIAN (統計 非 人生)]

這是個有趣的現象, 我從沒想過這個問題.

先假設一個簡單的分數計算方式
A 科的成績 Z_a ~ N(0,1) 分配
B 科的成績 Z_b ~ N(0,1) 分配
兩科皆是數值愈高代表成績愈好
名次的比較是由兩科加總來排名

假定兩科的相關係數為 rho=0
則 Z_a + Z_b ~ N( 0 , 2+2rho ) = N(0,2)

甲生 A 科的分數為 1, 光看 A 科的排名大約是 15.67%
( note: P( Z_a>1 )*100% ~= 15.67% )
甲生 B 科的分數為 1, 光看 B 科的排名也大約是 15.67%

但兩科加起來的排名是 P(Z_a + Z_b > 2)*100% 大約是 7.86%

以這個例子看單科都是在 15.67% 的名次, 但兩科一起看是 7.86% 的名次
當然這和相關係數有關
例如相關係數 rho=1 時, 每人在兩科的分數皆相同, 加總分數後的排名還是 15.67%


但也可能存在個別排名是高, 總排名是低的情況.
就如 ching0629 在推文所說:
21 個國家看十個指標, 若有一個國家在每個指標排第 3 名,
也有可能在總排名是第 21 名.

說明:
例如 A 國家在每個指標上拿 1 分, 而其餘的國家分別在任兩個指標分別拿100與99分,
且在其它指標上是 0 分. 而且每個指標只有一個100分,一個99分與一個1分, 其它是0分.
則 A 國家是每個指標上的第 3 名, 但總分或平均分數來比較, 排名上是最後一名.

這個例子可以做為我一開始看法情況的反例.

※ 引述《Bartholemew (蘋果樹    )》之銘言：
: 比方說，如果把指考六科分別的頂標加在一起，可能是450
: 可是以總分來看，你只要430可能就是總分的頂標了
: 要怎麼解釋這樣的現象呢?
: 這個現象在日常生活很常出現
: 比如說，最近評比世界的投資環境
: 台灣只有兩項是在前十名(不到前五名)，剩下的有不少都在五十名之後
: 結果綜合平均，台灣有到16名，讓我頗為納悶
: 總之，敢問板上高手，要怎麼解釋這類現象呢?(抱歉我對統計的知識不是很夠，請用淺白
: 一點措詞解釋，感謝)

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◆ From: 180.176.160.149
→ ching0629:這個解法是不錯,不過這不是很基本的原理嗎? 尤其是原po
→ ching0629:問的
→ ching0629:我想原PO還有個事情沒有弄懂,那就是名次是序位尺度,而
→ ching0629:平均數是不可能用序位尺度算的,而是用分數(等距尺度)
→ ching0629:序位尺度只保證 1的分數>2的分數, 2的分數>3的分數
→ ching0629:但不保證 1的分數-2的分數 = 2的分數-3的分數
→ ching0629:就世界排名這個部份來說,似乎是重點是序為尺度的問題
→ ching0629:假設有10個指標,某國每項都第3名,若它總和排第21名也是
→ ching0629:有可能的
→ ADORIAN:這不是 "解法", 是 "看法". 我也不曉得 "基本原理" 是什麼
→ ADORIAN:但你的看法很有趣, 尤其是在 10:34 那兩行, 或者你有個清
→ ADORIAN:楚的例子支持你的看法
→ ADORIAN:                    ?
→ ADORIAN:我想到了, 的確要找個極端的例子支持 10:34 是可能的
→ ADORIAN:我的看法也只是對普遍現象找個比較合理的解釋, 並不是一定
→ ADORIAN:要套用這個規則
→ ching0629:我知道你的想法很棒,這是一個很不錯的證明
→ ching0629:但這樣容易造成一個誤導,那就是個別名次較低,總和名次較
→ ching0629:高(若以原PO想問的問題而言),事實上你的意思是,個別分數
→ ching0629:排序較低,總和分數的排序會較高
→ ching0629:事實上以序位尺度代替實際分數呈獻的資料,很有可能發生
→ ching0629:個別名次的總平均高(把序位尺度平均),而總名次卻低
→ ADORIAN:你說的是對的. 但這不是證明, 我來修個文補充你的意思
※ 編輯: ADORIAN         來自: 180.176.160.149      (11/09 11:50)
→ ching0629:那就拜託你了,我的意思不是證明,是我覺得原PO的問題是出
→ ching0629:在不夠了解序位尺度的特性
→ ching0629:如果可以的話把我的推文修掉好了,我覺得表達不太好
→ ADORIAN:不, 你的說明也是個想法, 補全我想的不周. 多謝.
※ 編輯: ADORIAN         來自: 180.176.160.149      (11/09 11:53)