[問題] 證明，有關樣本變異數

[warex14 (航)]

條件：X_bar=(X1+X2+...+Xn)/n    且Xi為iid，期望值為μ，variance為σ^2
我知道E(X_bar)=μ
也知道E(X^2)=σ^2+μ^2


今天要證var(X_bar)=σ^2/n

我初步的想法就是把它化成

E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2 來算

不過要如何求 E(X_bar^2)？


我先講一個算出來應該是錯的的算法
E(X_bar^2)可寫成 (1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]

(1/n^2)*E[(X1+X2+...+Xn)^2]

=(1/n^2)*E[(X1^2+X2^2+...+Xn^2)]
↑(我想應該是錯在這步，雖然我想用iid的特性來說明E(Xi*Xj)=0，但是這樣用不行吧？)

=(1/n^2)*E[X^2]*n
=E[X^2]/n
= (σ^2+μ^2)/n

不過這樣帶回去E(X_bar^2)-[E(X_bar)]^2=var(X_bar)的式子就會是錯的
希望可以知道錯在哪裡
以及正確的解法



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◆ From: 140.114.212.81
※ 編輯: warex14         來自: 140.114.212.81       (03/03 01:59)
推 goshfju:不太建議 看到變異數 就換成 E(X^2)-(E(X))^2 的形式
→ goshfju:變異數本身有變異數的性質 Var(aX) = a^2 Var(X)
→ goshfju:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)  用這兩個性質會快許多
→ goshfju:Var(Xbar)=Var((X1+...+Xn)/n)=Var(X1+...+Xn)/n^2
→ goshfju:其中 Var(X1+...+Xn) = Var(X1)+...+Var(Xn)+ Covariances
→ goshfju:接下來你應該OK了~
謝謝goshfju的建議，因為題目出成
var(X_bar)=E{[X_bar-E(X)]^2}=...=σ^2/n
(第一個等號應該算hint吧？)
所以我就把他先拆解，之後就發現不會了...(因為以前證的都是用g大提供的方法)

→ yangchichuan:因為獨立，所以E(Xi*Xj)=E(Xi)*E(Xj)=μ^2
感謝！我在Hogg的數統上看到了！(糟糕都還給老師了)
再次謝謝

※ 編輯: warex14         來自: 140.114.212.81       (03/03 21:37)
※ 編輯: warex14         來自: 140.114.212.81       (03/03 21:52)