[問題]一些機率問題

[w2a3n4g5 (MORRIS.W)]

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小的在做數統考古題時遇到了一些問題,大部分都Google過但仍找不到解答
第一次在統計版發問,如果有不好的地方請跟我說QQ

1. Xi ~iid  (μ,σ^2)

   Prove Cov(S^2,Xbar) = 0        S^2 = Σ(Xi-Xbar)^2 / n-1

沒有常態母體,解題的時候將S^2展開 ,但之後會卡在ΣXi^3解不出來 ..
這題困擾我一個多禮拜了,怎麼寫都化簡不了



2. r.v X , r.v Y 為獨立且皆有 U(0,1)分配

   令   r.v W = X + Y
        r.v V = XY     試求W,V之聯合CDF

此題一開始利用變數變換想找 w,v的聯合機率函數
但是在變數變換時,反函數的部分無法寫出範圍,以至於無法寫出完整的聯合機率函數



3.Xi ~iid (μ,σ^2)  i=1,2 ... n

Find the asymptotic distribution of √n (Xbar^2-μ^2)

這題完全沒有想法...
原本有想過利用弱大數,但Xbar^2不知道如何下手




先謝謝各位了

祝大家新年快樂!!!!




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 219.68.108.198
※ 編輯: w2a3n4g5        來自: 219.68.108.198       (01/29 22:20)
→ RedHerrings:1. 先證Cov(X-Xbar,Xbar)=0
→ w2a3n4g5:上一小題就是證這個 , 但我想不出要怎麼使用它..
→ tokyo291:cov(S^2,Xbar)只有normal才會是0吧...其他都是mu/n
→ tokyo291:mu代表第三階中心動差,這一題去年我有看過
→ tokyo291:http://tinyurl.com/kf4uam7 附上證明
→ tokyo291:2.W=X+Y是三角分配triangular dist
→ tokyo291:3.請用delta method
→ tokyo291:2.V=XY 這是product dist 你去google
→ tokyo291:"uniform product distribution" 就會有很多證明了
※ 編輯: w2a3n4g5        來自: 219.68.108.198       (01/30 10:29)
→ w2a3n4g5:不好意思我打得不夠清楚,他是要求WV的聯合CDF 抱歉QQ
→ w2a3n4g5:所以第一題是老師題目出錯嗎Orz.....
→ yhliu:第一題只是要證明 covariance = 0, 只是計算煩瑣些, 並無什
→ yhliu:麼困難; 第3題如 tokyo291 說的, 套用 delta method 就是;
→ yhliu:第2題: 0 < (x+y)/2 ±√{[(x+y)/2]^2-xy} < 1
→ yhliu:只是去解 x+y = u, xy = v, 代入 0<x,y<1