Re: [討論] 柯氏力的推導問題

[walaykao (Age of Madness)]

這幾天比較有空，來回答下面的問題。

: ※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: : 看大氣動力學課本在柯氏力的推導章節一直卡關，想要跟各位先進請教一下。
: : Holton課本是從角動量守恆出發，結果導出
: : Du/Dt = 2Ωvsinψ + (uvtanψ)/a   --------(1)
: : Du/Dt = -2Ωwcosψ - uw/a         --------(2)
: : Dv/Dt = -2Ωusinψ - (u^2 tanψ)/a--------(3)
: : Dw/Dt = 2Ωucosψ + u^2/a         --------(4)
:
: 這裡要注意的是，等式 (1)-(4) 裡面的 Du/Dt 和 (dv_dt)_rot 裡的 x 分量
: 不全然相等。
:
: Curvature effect 的來源是 (dv/dt)_rot，跟科氏力或離心力都無關。因為
: 球座標中的單位向量 i, j, k 會隨位置改變，所以在對速度做全微分時，
: 速度的量值和 i, j, k 都要被微分。曲率項就是 i, j, k 被微分的結果。
:
: 用速度的 x 分量來看，就是:
: (du/dt)_rot = d(u*i)/dt = i * du/dt + u * di/dt
:                               ^^^^^這個才是等式 (1),(2) 裡的 Du/Dt
:
: 推 s93015a     :Curvature effect和離心力有關喔！                 06/10 19:37
: 推 s93015a     :u^2/r不就是離心力嗎？                            06/10 19:39
: → walaykao    :不是。u^2/r 這項是 di/dt 的結果之一。            06/10 20:34
: → s93015a     :可以請問u di/dt的物理意義嗎？                    06/10 22:26
: → s93015a     :我來說的話，就是離心力                           06/10 22:26

退萬步言，假設曲率項真的是離心力好了，你能解釋一下 uw/r 為何是離心力嗎？

: di/dt 的物理意義是座標轉換。
: u * di/dt 是可以把它當作一種假力，但跟旋轉完全無關，所以不會被叫做離心力。
:
: 具象一點來說，曲率項跟如何在球座標裡描述一條直線有關。
: ※ 編輯: walaykao (58.115.137.236), 06/11/2014 01:27:43
: 噓 s93015a     :跟旋轉完全無關...？誰來評評理...                 06/11 12:56
: → s93015a     :明明就只跟旋轉有關                               06/11 12:57
: → e20288      :u本身就是繞著地球在旋轉的氣流不是嗎？            06/11 13:22

不。對地球上某處的觀察者來說，u 是平行緯度的切線方向風。要注意，u 和 v
是根據局地的 cartesian 座標定義的，跟實際大氣的風是不是繞著地球轉無關。

舉個例子來說，若高空有一道緯向噴流，在我正上方的部分可以只用 u 來描述，
但在我東方一百公里處的噴流就得用到 u 和 w 了。

: → Indigoa     :不太對，你在空間的座標轉換上怎麼會有時間的因次   06/12 12:29

要注意的是，我上面講的是全微分，雖然局地的垂直座標不是時間的函數，但
平流項還是會發揮作用，也就是

di/dt = u * di/dx

所以 (du/dt)_rot 才會出現 u^2 或 uw 這種項。

: → Indigoa     :你如果要說i會隨著時間改變所以引入t項，然後以此建 06/12 12:40
: → Indigoa     :一個新的運動座標，那就你成功引入旋轉的概念       06/12 12:40
: 推 s93015a     :純推I大                                          06/12 13:01

看來一般性的抽象原則可能不容易理解，那我舉個例子讓各位想一想好了。

為了簡化，先不考慮重力和摩擦力。假設在風洞中有個假想的不旋轉的球面，
風洞中的氣流現在被施加了一個額外的氣壓梯度力，在這個球面上的觀察者要
如何描述這個氣壓梯度力？

在這個例子中，沒有任何東西在旋轉，自然不會有科氏力和離心力。但這個
觀察者仍然需要曲率項才能描述氣壓梯度力；也就是我先前說的，如何在球
座標中描述一條直線的問題。

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We also know how cruel the truth often is,
 and we wonder whether delusion is not more consoling.
                                                      -- Henri Poincare

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※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/TY_Research/M.1403143671.A.B4E.html
→ s93015a     :沒有人說uw/r是離心力啊
→ s93015a     :它是w(旋轉半徑變化)作用在u/r(旋轉角速度)上所造成
→ s93015a     :du/dt(旋轉速度變化)
→ s93015a     :和角動量守恆有關
→ s93015a     :曲率項六項中有三項是離心力項，另外三項是角動量項
→ s93015a     :第二個問題，這本就要舉實際的例子才能理解啊
→ s93015a     :若某質點運動u=1,v=0,w=0,du/dt=0,dv/dt=0,dw/dt=0
→ s93015a     :我們只看dw/dt，不就是某外力平衡u^2/r(離心力)嗎？
→ s93015a     :然後抱歉最後一個例子看不懂
→ blc         :原po大概是把方向和直線弄混了吧。
→ walaykao    :樓上請說清楚一點
→ walaykao    :另外，所有的曲率項都是角動量守恆
→ walaykao    :最後一個例子看不懂的話，要跳脫地球來看世界
→ s93015a     :跳脫地球來看世界？如果樓上是指慣性座標的話
→ s93015a     :慣性座標下沒有曲率項喔
→ s93015a     :另外，並非所有曲率項都是角動量守恆
→ s93015a     :(-uvtanψ/r+uw/r)i和(vw/r)j 是角動量守恆
→ s93015a     :(u^2tanψ/r)j+(-u^2/r-v^2/r)k 則是離心力
→ s93015a     :其中i,j,k是向東、向北、向上單位向量
→ walaykao    :形式看起來一樣，不表示就是一樣的東西
→ walaykao    :最後一個例子看不懂，在bbs上大概很難講得更清楚了
→ blc         :他大概想說慣性座標的y=1在球面上要寫一大串。
→ blc         :重點是相對於慣性座標，球面上的每一點uvw方向都不一
→ blc         :樣，有旋轉的話還得加上時間項。
→ s93015a     :球面上每個點uvw方向不一樣還是慣性座標嗎？
→ s93015a     :如果說質點經過球面時uvw隨時間變化的話
→ s93015a     :那就是加速座標囉
→ s93015a     :我大約理解為什麼原po無法接受曲率項是離心力了
→ s93015a     :原po認為曲率項就算地球不旋轉也存在，故稱不上離心
→ s93015a     :但如果說質點經過球面時uvw隨時間變化的話
→ s93015a     :我們的座標系統已經在旋轉了
→ Lanjaja     :有沒有哪一位可以直接真得算給大家看 算出來的不會假
→ Lanjaja     :還有Holton關於Dv/Dt Dw/Dt的推導直接令R不變 也就是
→ Lanjaja     :徑向沒有加速度 所以只看離心力 也很矛盾 因為既然有
→ Lanjaja     :Dw/Dt z方向的加速度 為什麼在算徑向的力只有離心力?
→ Lanjaja     :應該還要有r"這一項
→ walaykao    :上面幾位好像以為球座標不是慣性座標？
→ walaykao    :Holton在2.3節就推導過了，只是要把a換成r
噓 s93015a     :原來球坐標是慣性坐標
→ e20288      :所以原po認為球座標的情況uv都不是貼著球面上跑？
→ Indigoa     :想知道最後一個式子，舉個可以用算式描述的例子好了
→ Indigoa     :你的一般性的抽象原則讓我有點難懂...
→ e20288      :應該說是uv是繞著球跑
→ e20288      :剛剛這部分應該是我誤會了
→ e20288      :如果我的理解沒錯，貫性和非貫性和球本身的旋轉相關
→ s93015a     :不，慣性和非慣性和觀察者的加速(如旋轉)相關