→ jonathanmeow:文太長，end 12/20 12:39
→ jonathanmeow:嗯嗯，跟我想得一樣... 12/20 12:40
→ jonathanmeow:快笑，不然人家會知道我們不懂數學 12/20 12:40
→ jonathanmeow:鄉民們還有什麼經典回應呀？ XDD 12/20 12:40
推 woony :很認真，一定要給推啊! 12/20 20:50
→ TeddyBear :一定要收入精華區啊^O^ 12/20 22:19
文長喔～
※ 引述《TeddyBear (尋找Mr. Right)》之銘言：
: 不好意思，有幾個小三除法的問題想請教板上的板友：
: 1-現在教二位數除以一位數，
: 如果題目是--(等分除)
: 有98枝冰棒，想平分給6個人，每人最多可得幾枝，剩幾枝冰棒？
: 我知道可以解釋為：90枝冰棒平分給六個人，每人至少可以得10枝，
: 但剩下30枝(10枝為單位，有三份，無法直接分給六人)
: 所以拆成一枝一枝，變成30個1，再加上原有的8，
: 變成38枝冰棒再分給六人，每人又可得6枝，
: 所以每人最多得16枝，剩下兩枝。
: 但當題目是--(包含除)
: 有98枝冰棒，6枝裝成一盒，最多可以裝成幾盒？剩下幾枝冰棒？
: 我就不知道如何讓孩子實際操作，以及如何解釋意思了= ="
根據我知道的除法學習歷程
學生一開始在實際操作時，包含除是比較容易做的，
98枝冰棒每6枝裝一盒，操作上就一次拿6支出來變成一盒
再看看剩下的夠不夠再拿一次6支
直到不夠拿，最後，計數拿幾次就會是幾盒
: (困惑一)
: 本想用古氏積木操作，給9條10個一條的積木，及八個單顆的積木。
: 但這樣一開始就必須把條狀的積木換成單顆的積木，才能六枝一數...
: 可是我在列式時並非從個位開始，而是從十位開始啊?!
一開始操作的時候，學生手上有的都是以1為計數單位的
因此不會有你這問題
要用到9個10的狀況時，已經進入到直式算則的推導過程
: (困惑二)
: 98除以6直式中的商，其中那個10盒，我一直不知道怎麼分出來的?
: 又9-6剩下3(代表3個十)，為什麼不能再直接六個一數?
: 3個十，明明六個一數可以再分成五盒？
: 另外，我看到課程綱要中提到，要連結包含除和等分除，
: 請問為什麼要連結？又用如何連結呢？(因為我從來沒想過這問題)
: 以及，要讓學生熟練估商，估商有那麼重要嗎？
非．常．重．要！
: 這是指要讓孩子對於十位的數字要擺多少，要有數感，不要差太多的意思嗎？
: (例如商是16，那十位數字不至於出現5、6...之類的)
right！
: 拉拉雜雜講這麼多，不知道是否講得有條理？!
: 但我真的想了兩天，還解不出來，希望有人可以幫忙啊，感恩。
本來想要分段回，但是好像有點亂，我想我從頭說起好了
一開始除法就是從分東西的經驗開始
而我們看到的都是一個一個的物體，如98枝冰棒
首先會有等分除和包含除兩種分法
就是分給六個人以及每六支裝一包
操作上：
等分除
分給六個人，就是一人先一隻，每個人分完一枝後，
再看看剩下的夠不夠每個人再分一隻，所以要看剩下的有沒有超過六支
包含除
每六支裝一包，就是一次拿六支變成一堆，
再看看剩下個夠不夠六支，若夠就再拿一次六支變成一堆
然而，一直都是用物品操作，就沒辦法進階成數字啦
所以我們會用圖像表徵
表徵法：
要先畫出98枝冰棒（一開始數字要用小一點比較好，不然就要用電腦輔助教學）
等分除
分給六個人，那就要另外畫出六個人，或畫六個大圈圈
接著把98枝劃掉1枝，第一個人加一枝，依序下去，
到第六個人後，再看剩下的有沒有超過六支
直到不夠，那每個人（或每個大圈圈）裡面有幾枝就是答案，
而本來98枝還剩下幾隻就是餘數的部份
包含除
六支裝一包，那麼就把原本的98枝冰棒每六支圈一圈，
然後直到不夠六支，最後點數幾個圈就是可裝成幾包，
沒被圈到的就是餘數
如果是這樣，那請問哪個表徵方便呢？
根據經驗，包含除的六支裝一包是比較容易的，等分除要劃掉一枝畫上一枝
那等分除可不可以用包含除的做法做？其實也可以
回到等分除的題目，
一開始我們要一人分一枝，
每個人都分到一枝後，總共分出去幾枝呢？就是六枝，
所以一開始我們就可以在98枝的原始圖畫中，
每六枝圈一圈，然後告訴自己或他人，這六枝要每個人一枝
再圈第二個六枝，這六枝會讓每個人再加一枝
直到不夠六枝，那圈幾圈就表示每個人可以拿到幾枝
這表徵法，就會跟包含除一模一樣，只是解釋的方法不同
我想這就是連結包含除和等分除吧
亦即：每次都是拿出六枝，但包含除是六枝一包，等分除是六枝再拿去一人一枝
而這之中，可以依序引入連減法算式以及用除法直式紀錄被除數、除數、商、餘數
用連減法也很容易看得出包含除和等分除其實操作上是類似的（其實紀錄上根本一樣）
這裡除法直式需由老師告知就是這樣紀錄（當然也可以讓學生試試看怎麼紀錄）
在這裡的除法直式位值不要特別強調，只是一種紀錄而已
如
12 ←「這時」1不用強調要跟9對齊
___
6 )98
---- ←咦，我忘記下面這時候要不要寫了耶...
2
總之，下一步就是引入成人算則囉
成人算則有兩個步驟，第一種是用疊商的方式來求得答案
第二種是用有位值觀念的方式來求得答案
第一種方式可以依據表徵來做紀錄
98枝 平分給6個人/每六枝裝一包
表徵畫出六枝一圈時，連減法是98-6=92，然後再圈一圈92-6=86
減了幾次6就表示畫了幾個圈
然後可讓學生感覺一下：那麼大的數字要這樣寫會很累
因此我們可以先圈出多圈後，再看看圈出幾枝，然後一次減
如，我先圈5圈，總共會圈出6*5=30枝，剩下98-30=68
而這裡用除法直式紀錄就會變成
5
___
6 )98
30
----
68
可不可以再圈呢？行，再一個五圈好了（可開始訓練估商囉）
5 ←往上疊，可是等等要加起來，所以寫整齊吧
5
___
6 )98
30
----
68
30
----
38
因為還可以分，再繼續做，
可用其他圈數去做，比如6圈，
最後再把商加起來看總共會有幾個圈
這裡，都希望可以多一點經驗是邊畫圖邊紀錄算式，
甚至，我們可以做先分10次（表徵是圈10圈）
算式為：
10
___
6 )98
60
----
38
這樣有好處是：分出去幾枝以及剩幾隻都比較好算，
但這裡還是用10個1的觀念，而非1個10
所以可以回應你的困惑二：接下來是可以分5個6枝的
然後...呼～就是最難的地方
因為要進入到位值觀念的部份時，
我們要把包含除和等分除的連結反過來，
表徵時，包含除比較容易表示，而直式算則時則是等分除比較容易解釋
表徵物也要改掉，或是說，要換題目
用硬幣吧！這是我知道比較好說明的媒介
98元，我們會習慣拿9個10元和8個1元（或3個1元、1個5元）
假如我分給6個人，
我如果先分8個1元的部份（當然這時就會發現那個5元很礙眼而都變成1元）
那手邊就會剩下9個10元和2個1元
接下去怎麼分？
小朋友應該會有人察覺9個10元可不可以1人分1個？
這時就會有位階觀念出現：我們分的是9個東西給每人1個
那還剩下3個10元和2個1元，
現在表面上是沒辦法分每人6元了
（這也呼應困惑二，有位值觀念時我們看到的是3個大東西和2個小東西）
接下來就要「換錢」，換成32個1元，
此時也可以跟學生討論，剛剛已經分過1元了，現在又要分1元
怎麼避免這狀況呢？（就是要從大位階開始分，因為大的可以變小的）
那紀錄呢？
5
1 ←我們分出每人1個10元，不能寫10喔
1
___
6 )98
6
----
92
6 ←我們分出6個10元，不能寫60喔
----
32
30 ←我們分出每人5個1元總共分出30元，不能只寫十位的3喔
----
2
那若要避免分兩次1元，我們先從十元的開始分
1
___
6 )98
6
----
3 ←此時換錢，把3個10元換成30個1元
（所以困惑二的產生是因為老師想法太快了，他們是三年級～）
1
___
6 )98
6
----
30 ←啊本來還有8元呀，所以合起來是38，一次做紀錄吧！
1
___
6 )98
6
----
38 ←因為30的0加8就會是8，所以算則規則就是把後面的數字放下來
6 ←因上面有經驗是可再分每人6元，所以直接寫6
1
___
6 )98
6
----
38
36 ←共分出36元
那這時疊疊樂還有必要嗎？1個10元6個1元如果放整齊來，就會很好得到結果
所以這時候才會開始要求整齊
這是等分除的觀念，那包含除呢？
真想講：依此類推 :P
直式算則要解釋包含除有點困難，
98元每6元分一堆（或買1個6元的糖果）
1 ←直式算則十位數上面寫1，表示先買10個，那應該要紀錄商是10呀
___ 不過因為前面有等分除的算則經驗，所以十位數上面先紀錄1
6 )98
6 ←共分出（花掉）10個6元總共60元，也就是6個十元，
---- 因此這也不是紀錄60而是紀錄6
3
也就是說，所有的數字都要再換回高位階的數字以方便紀錄及統一算法
然後還剩下3個10元，接著換單位點點點的就真的跟等分除差不多了
總結：
除法的教學進展
1.實際操作等分除、包含除等題型
2.使用表徵方式表示等分除和包含除的過程
3.運用連減法以及除法紀錄分的過程
4.表徵和連減法都可用包含除的觀念來做等分除的題目
（除此之外，老師還可先佈一半的題目
如：98個糖果，每6個裝1包，...
讓學生完成佈題：最多可分成幾包，剩幾個？
可加強對這兩種分法的認識和分辨）
5.一次做多次分的動作後再配合乘法寫成直式算則
並透過疊商的方式完成整個分的動作
6.用硬幣來引入位值觀念的除法和紀錄
7.練習估商及熟練算則
以上
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唔，學生說營養午餐裡面有蛆～ Qmmmmm
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