推 n0204159:謝謝! 台大有時候真的不太人道= = 12/14 12:14
推 howchiu:推專業y大 12/14 12:39
※ 引述《n0204159 (黃黑人)》之銘言：
: For hydrogen-like atoms the wavefunctions for the 1s and 3s orbitals are
: Ψ(1s)=π^-1/2(Z/ao)^3/2 e^-σ
: Ψ(3s)=(3^-9/2) π^-1/2(Z/ao)^3/2(27-18σ+2σ^2)e^-σ/3
: in which σ=Zr/ao,ao=5.29x10^-11m
: (a) determine the radius of the most probable radial probability of the 1s
: state
波函數之平方 (|φ|^2)代表發現電子機率的分佈(prbability distribution)
此機率的分佈是在空間上一個「特定點」電子可能出現的值
若我們要求出從原子核開始計算在特定半徑發現電子的機率，則要再乘上4πr^2
稱之為 radial probability distribution
故 the most probable radial probability of 1s state
P(1s) = 4πr^2φ(1s)^2＝4r^2(Z/a0)^3exp(-2Zr/a0)
要求出當時之半徑，對上式進行一次微分
dp/dr=(4Z^3/a0^3)(2r - 2Zr^2/a0)exp(-2Zr/a0)
最大機率就發生在dp/dr=0處，也就是r＝a0/Z處
* 乘上4πr^2你可以這樣想：球的體積是4/3πr^3，表面積就是πr^2
一個特定點的機率在乘上表面積，就是在特定距離所有發現電子的機率
這種樣子就很像洋蔥形狀一樣(一片一片的)
* 而求出的最大機率處，若Z＝1，其實就是波耳模型中的a0，也就是發現電子最大機率
r＝5.29 x 10^-11m
對應到|φ|^2的圖形(有書的話)，你會發現|φ1s|^2沒有節點(node)
所以發現電子最大機率就是最外圍，也就是整個球
: (b) calculate the position of the nodes for the 3s states
有題(a)的概念，這題你就一定會算，你也發現這題的問法跟上面不同
變成 the position of the nodes
|φ(3s)|2＝0之解與φ(3s)＝0同意，相當於求27-18σ+2σ^2＝0的解
解出σ＝7.1或1.9，又σ＝Zr/ao，所以節點的位置就是r＝7.1(a0/Z)或1.9(a0/Z)
* 3s的節點數＝2，就是這兩個
: (c) calculate the relative probability ratio of finding the eletron between
: 1s and 3s states centered at the nucleus (ie. the origin position)
同上，發現電子的機率正比於|φ|^2
φ(1s)^2 正比於 (1/π)(Z/a0)^3exp(-2σ)
φ(3s)^2 正比於 (1/19683π)(Z/a0)^3(27-18σ+2σ^2)^2 exp(-2/3σ)
兩式相除 得P(1s)/P(3s)＝(19683/(27-18σ+2σ^2)^2) exp(-4/3σ)
因為是在原子核上，表示r＝0，σ＝0，帶入上式後，求出機率相對值為729
: (d) for the 1s and 3s states,calculate their relative probability ratio of
: finding the electron in a shell located at a radius distance of 300pm
同理，將300pm帶入上面的機率相對值中，此時注意單位，換算後σ＝5.67Z
因為此題沒有說明Z為多少，最後的就直接以Z表示即可(懶得寫了)
: 請各位高手為不才解惑
: 謝謝!!
落落長 看不懂就算了 我覺得有點超出普化的範圍了
物化可以再學也不遲
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