Re: [問題] 振動題之其一

[hydest ()]

※ 引述《Morphee (千磨萬擊還堅勁)》之銘言：
:     k            k
: o -------- () --------o
: 兩小球質量m在兩側,中間一大球質量M, 用彈簧(彈力常數k)連接,
: 求1.特徵頻率(考試通常只考到這)
:   2.振動模式 (要懂物理要解到這)
: 首先, 先解釋一下特徵頻率,
: 特徵問題是早期在說明"能量不連續"的一種數學技巧
: 如今被廣泛的應用在各種工程問題上
: 特徵值可謂之為工程中所實際測量到的值
: 特徵向量則是相應特徵值所代表的狀態
: 我舉個例子,一台販賣機,賣舒跑10元,沙士10元,可樂15元
: 則10元15元則代表特徵值,所對應的飲料則是特徵向量
: 整台販賣機就是這個問題的特徵空間
: 再補充說明一下, 這個問題10元是重根,對應到兩個不同的特稱向量, 所以可以對角化
: 可以對角化又代表什麼意義?? 要解釋這個就要扯到測不準原理,在此略.
: 如果這個販賣機改成舒跑10元,舒跑10元,可樂15元
: 則此特徵問題10元仍是重根,但僅對應一個特徵向量"舒跑"
: 則個問題為"兼併", 無法對角化, 有測不準的問題
: (簡單說明測不準:當你花10元買了一罐舒跑,你是押了販賣機左邊的舒跑還是右邊的?)
: 當這系統在特徵頻率(特徵值)振動時,每個物體的振動情形就叫做振動模式,
: 取三球連線為x軸, 當3球偏離平衡位置時的位移依次為X1 X2 X3
: 第一步 寫 Eq of motion
:         不難就是虎克定律
:         mX1" ("代表微前面那個符號兩次) = k (X2-X1)
:         MX2"   = -k(X2-X1) + k(X3-X2)                    (1)
:         mX3"   = -k(X3-X2)
: 第二步 設
:         X1=A1 *cosωt           X1"
:         X2=A2 *cosωt           X2"
:         X3=A3 *cosωt    求出   X3" 代入 (1)
:        接下來就是A1 A2 A3的3元一次聯立方程
: 第三步  若希望A1 A2 A3 有 non- trivial solution (就是非零解)
:         係數行列式要為零,解出ω
:         解ω各位將面臨有點複雜但是只有國中程度的數學.
: ω有3個,解出以後,ω1 = 0 代表不振動(trivial!)
: 另外兩個ω2 and ω3 大家可以帶入(1) 解出 相對應的A1 A2 A3
: 然後在想想他的物理,如果數學算出來的振動模式 跟
: 你認為系統應該出現的振動模式相符,這題你就會了!(但我相信其中還有疑問,但我認為
: 那是線性代數,也就是數學方面的問題了.)
: 解這題,若你是第一次解,花個一小時跑不掉.
  沒錯

  是線性代數..

  去年那題6個彈簧

  因為最後會列成6 X 6階的行列式

  光降階成3 X 3

  就會耗掉很多時間

  我算完那題....花了一個多小時吧

  也是因為有學工數才會的

  在考試現場要寫出來...不容易

  應該說乾脆跳過

  看看電容..那題...寫完應該不用30秒吧..15分

  這題也是15....

  所以說出題真是猜不透

  說不定是易X國出的....

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◆ From: 61.228.178.45
→ hydest:應該說ODE也要會啦
推 Morphee:恩  而且是聯立ODE阿~
→ hydest:到還好耶..因為一開始就知道是振動
→ hydest:所以在假設時就直接把X=Asinwt 這樣設帶入
→ hydest:因為適用牛頓法..所以加速度那裡會對X二次微分
→ hydest:所以最後回到sinwt就可以全部消掉..
→ hydest:然後就成為了只剩有關A的項....
→ hydest:當然這裡的A是用類似"漸化式"的表示法
→ hydest:也就是An  n=1.2.3.4.5.6
→ hydest:最後就像之前說的.利用係數關係.讓行列式為零..
推 hydest:不過這時如果沒學過線代..應該就做不下去了
推 yenlmy:其實去年出題的是趙治宇~@@~
→ yenlmy:他還說改考卷一堆人零分~直接畫X很爽~