Re: [力學] 100中興 衛星脫逃速率

[Honor1984 (希望願望成真)]

※ 引述《shiamuaoi (葵)》之銘言：
: [單元] 重力場與重力位能
: [來源] 100中興 電機系
: [題目]
: A satellite moves in a circular orbit just above the surface of a planet,
: assumed to offer no air resistence. If the satellite's orbit speed is v, the
: escape velocity from the planet is
: (A)v  (B)(根號2)v  (C)(根號3)v  (D)2v  (E)(2根號2)v
: [想法]
: 我的想法是  總能E=U+K =-0.5U =-K  K=(1/2)mv^2
: 所以 (1/2)m(脫逃速率)^2 -K =0 → 脫逃速率=v
  這一步不對

  你用了E = -K的關係
  這個是＂繞星球＂的總能 = 位能 + 動能
  既然E都包含了動能（此動能不是隨隨便便要什麼就有什麼 這要和位能搭配）
  你又再加個(1/2)m(脫逃速率)^2代表什麼意思？
  (1/2)m(v_1+v_2)^2 =/= (1/2)m(v_1)^2 + (1/2)m(v_2)^2


　可以脫逃的總能　＝　位能　＋　動能，至少要　＞＝　０

  而星球表面的位能 = -GmM/R
  衛星位於星球表面的動能 = (1/2)m(脫逃速率)^2
　
  既然稱為可達成脫逃的總能
  表示物體可以到無窮遠的地方 且 動能 >= 0
  沒有耗散做功的情況下
  從星球到無窮遠處的過程中能量都是相同的

  所以在星球表面可以逃脫的總能 = 在無窮遠處的總能  值要相同

  已知在無窮遠處 U = 0 K>=0 我們只要求可剛好達到逃脫的速度 所以無窮遠處K=0

  這樣就變成 -GmM/R^2 + (1/2)m(脫逃速率)^2 = 0 + 0

 => 脫逃速率就可以求出來了

: 但解答是
: GMm/R^2=mv^2/R  GM=Rv^2

這一步是算力
不是位能
殊途同歸
因為位能是從力做功來定義的

: 再由力學能守恆
: (1/2)m(脫逃速率)^2 -GMm/R = 0
: →脫逃速率=(2GM/R)^1/2
: 代入前面求出的GM值  脫逃速率=(根號2)v ---answer
: 我不懂的是
: 解答的寫法好像算的是位能
: 但衛星自己也有運動 (有orbit speed)
: 那它自身的動能跑到哪去了...？

星球表面處 K = (1/2)m(脫逃速率)^2
無窮遠處 K = 0
因為在往無窮遠處移動的時候
星球的引力做負功
衛星越來越慢

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◆ From: 128.220.159.5
推 Louisdoudou:這題目一開始就說了脫離需要多少速度，也就是說速度要
→ Louisdoudou:到多少才可以把位能的部分填補變成零。
所以呢?
你這兩行難道不是重複我這篇在說的事情?
那這樣還有什麼疑問?

→ Honor1984:脫離的意思是總能>=0 可以到無窮遠處 又可以有任意動能
題目清楚的說一開始衛星就已經在近地球表面高度(位能=-GMm/R)繞地球轉了(v)
如果要從星球脫離  需要多少速度?

可以脫離的速度v'

GMm/2R = (1/2)mv^2

-GMm/R + (1/2)mv'^2 >= 0 => 這不就是我一直在說的總能>=0
(在地表)

=> v' >= sqrt(2) v

這個解答難道有錯嗎?

→ Louisdoudou:你說的是束縛能，我說的是脫離速度....兩者要算的東西
→ Louisdoudou:剛好差2倍，束縛能是脫離引力，脫離只是脫離表面引力
扯這些名詞有什麼幫助
重點是你知道你在做什麼就夠了
我文中用的都只是單純的動能  位能  總能而已

→ Louisdoudou:也就是說，可能你已經滿足脫離能，但是還是被束縛著。
既然你要講名詞
我們就講清楚

網路找隨便找都有的定義

束縛能：根據物體所在位置及運動狀態，使其能到達無窮遠處所需補充的最小能量，
    Eb+E=E∞，一般情況E∞之值為零，故Eb=-E
脫離能：指的是克服物體所在位置處的位能而達無窮遠處所需的能量，與物體的運動狀態
    快慢無關。

你的束縛能和脫離能根本就弄反了
拿這題來做例子

束縛能 = -E = GMm/2R
脫離能 = GMm/R

這兩種能量都是提供給運動物體的
當我提供給題目中的衛星脫離能 GMm/R
難道還無法滿足束縛能GMm/2R?

GMm/R < GMm/2R !? 這你發現的新數學不等式嗎?

→ Louisdoudou:要清楚知道題目想要什麼QAQ
※ 編輯: Honor1984       來自: 128.220.159.5        (07/10 05:10)
→ Louisdoudou:最後一行這有可能，如果兩邊加負號，就是對的，ㄎㄎ
推 Louisdoudou:算了，可能我言詞表達不佳，爭這沒意義，會寫就好。
→ Louisdoudou:別激動，我前面說錯是想說，有兩個宇宙速度.....
→ Honor1984:脫離能和束縛能都是正的 不可能加負號
→ Honor1984:我上面兩個式子和第一第二宇宙速度 是一樣的