我對 Godel並不很熟, 所以可能會有回答錯的地方。
僅僅分享一些個人的看法。
※ 引述《realove (realove)》之銘言：
: 感謝眾高手的回答
: 如今 仍有一個疑問 在某一期刊上見一哲學家談到哥德的時候 他說
: There is no finite set of finite principles that serves to axiomatize
: first order arithmetic: that is, no finite set of finite principles, such that
: given any sentence in the language or arithmetic, the princicples entail
: that sentence if and only if it is true.
: (摘錄自Richard Holton, Principled Particularism)
: 請問以上說的就是在講哥德的不完備性定理嗎?
我覺得這裡講的不是incompleteness theorem,
而僅僅是說first order arithmetic is not finitely axiomatizable,
意思上面有解釋, 就是我們無法只用有限條axiom就導出裡面所有的真命題。
而incompleteness意思是, 在系統當中, 並非所有真命題都能有證明,
而兩者相關但不全相同。
: 上面說的意思是說 並不是所有一階算術中真的語句都可以從
: "有限原則的有限集合"(finite set of finite principles)推導出
: 但這似乎未排除以下兩種可能性
: (i) 真的語句可以從無限原則(infitine or open-ended principles)的有限集合推導出
: every true sentence in the first oder arithmetic can be derived from
: a finite set of infinite principles
: (ii)真的語句可以從有限原則的無限集合推導出
: every true sentence in the first order arithmetic can be derived from
: an infinite set of finite principles.
: 但我所懷疑的是哥德的不完備性定理 沒有排除(i) (ii)的可能性嗎? 如果有的話
: 我所引述的Richard Holton的那一段文字 似乎就根哥德的不完備性定理扯不上邊
我想是的。
: 另外一個問題是 要證明一階邏輯系統是不完備的 就要證明有些真的語句
: 無法從此系統推導出
: 但我想問的是 到底是哪一個或哪一些或哪一種真語句是不能在一階邏輯系統中獲
: 得證明壓?
這就是它厲害的地方吧, 因為incompleteness的證明不是constructive的,
也就是說, 它只能夠證明一定有這樣的語句,
但是卻不能提供出任何一個確定的例子。
: 以下是我第三個蠢問題: 一階算術的定義是啥呀? 有誰可以解答或舉幾個例子
: 來說明嗎 謝謝 呵...然後 我也想順便問一下一階邏輯的定義呢?
這個我就不敢回答了, 我猜大概是first order logic 加上 natural number吧...
而first order logic 是相較higher order logic說的,
意思是在當中不對 predicates 作 quantification,
也就是說, 你只會看到 (for all x)、(for some y)這類的,
而不會看到(for all P), (for some F)這種formula..
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