Re: [分享]科學史 (伍) 後現代數學狀況

[dementia (妖精尾巴魔導士)]

※ 引述《Keelungman (金坷拉是新世界的神)》之銘言：
: ※ 引述《puyoyo (madhouse)》之銘言：
: : 框架內。哥德爾認為形式語言都面臨著以下困難：“一種語言中的某個句子的真理
: : 概念是不能由這一語言確定的。”[15](p.76)波蘭邏輯學家塔斯基在1933也獨立地
: : 得出這一結論
幫澄清

這不是歌德爾不完備定理
但是有關係
一般稱為"diagonal lemma"或"diagonalization lemma"
內容大致上是這樣的

　在一個初階的算術語言中，對於任一個只有x是變元的式子F(x)
　我們可以證明有一個這樣的句子P，P ←→ F("P")

如果我們的語言有T(x)用來代表"x是真的"
那麼考慮~T(x)
我們就會得到有一個句子P，"P ←→ ~T("P")"
: : 。立足於後現代數學語言學的視角下，我們可以清楚地看到西方傳統的邏輯化—理
: : 性化精神本質的內在缺陷。從中更可以看出哥德爾不完全性定理這一20世紀最重要
: : 的數理邏輯成果的後現代里程碑意義。更進一步看，我們認為，哥德爾不完全性定
: : 理的意義已經超出了科學認識論的範疇，而帶有了深刻的人文價值和濃厚的終極關
: : 懷意味，它顯示了人的主體性認識地位的終極性和基始性。
: 在我的理解裡面, 歌德爾不完備定理說: 在一個"夠強"*的形式語言中,
: 總是可以找到一些敘述既無法證明為真, 也無法證明為偽
不太對

應該是這樣的

　總是可以找到一些敘述為真，既無法被證明是一個定理
　而且其否定也無法被證明不是一個定理
: *"夠強"的意思是這個形式語言要能蘊含皮亞諾公理
:  也就是說要能建造出無窮多個自然數

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◆ From: 61.59.83.110
※ 編輯: dementia        來自: 61.59.83.110         (06/04 01:41)
推 Keelungman:感謝指點! 果然還是先弄清楚再下筆比較好 :P
→ dementia:不客氣 有錯只要改就好了 不是大不了的事 ^____^
推 MathTurtle:看不太懂你講的耶...
→ MathTurtle:你的意思是原文中的「一種語言中的某個句子的真...」
→ MathTurtle:那句話指的不是不完備定理而是對角化引理嗎?
"diagnal lemma"應該就是"對角化引理"吧
→ MathTurtle:從原文的下一句話提到Tarski來猜, 好像的確是指到對角
→ MathTurtle:化...所以也許你可以提一下為何對角化證明了真理概念無
→ MathTurtle:法由自身語言中確定。
如果我們把T(x)視為"x是真的"
那麼我們似乎會承認P ←→ T("P")
然後再加上P ←→ ~T("P")
就會得到T("P") ←→ ~T("P")
這只要在承認古典邏輯的推論規則下就會得到
T("P") & ~T("P")
因此矛盾
如果我們拒絕矛盾
似乎就要承認T(x)和"x是真的"不同
推 MathTurtle:另外就是有點看不懂Keelungman講的和你講的差別在哪裡
"定理"和"真句子"不是同一種東西
定理是以推論規則(含公設和其他定理)推出的結論
更明確地說
推論規則是"只要看到如此這般的句子，就可以寫下那樣那樣的句子"
這是機械式的操作
其中並不涉及"真"的概念

有些推論系統給我們很爛的規則
比方說可以推出矛盾
這種系統大部份人都不要
一個推論系統的規則好還是不好
通常是需要證明的
這屬於後設邏輯(meta-logic)的範圍
一般常見的標準是健全性(soundness)和完備性(completeness)
前者要求所有的定理都是真的
後者要求所有為真的都是定理
※ 編輯: dementia        來自: 61.59.83.110         (06/04 03:27)
推 MathTurtle:感謝說明... :)
→ MathTurtle:第一個部份應該就是指 T-axioms 會造成矛盾, 所以它不
→ MathTurtle:能被等同於真理概念...解說的相當清楚...
→ MathTurtle:第二個部份我的疑惑是 Keelungman 其實沒用到真概念。
→ MathTurtle:他說的證明為真可以理解為provable, 而證明為假可以理
→ MathTurtle:解為refutable, 再理解為其否命題可以provable,
→ MathTurtle:似乎和你給的描述就差不多了。
→ dementia:的確可以 也許是因為我對這領域有點接觸 比較挑剔罷了 XD
推 MathTurtle:結果他刪文了...
→ MathTurtle:就我聽到的詮釋, Godel在給出不完備定理時是有刻意避
→ MathTurtle:開真概念, 因為當時的真概念是形上學概念, 又在邏輯實
→ dementia:阿勒 XD
→ MathTurtle:証論盛形的那個年代是很有爭議的。而第一不完備定理
→ MathTurtle:Godel原本的formulation當中只用到proof的概念。
→ MathTurtle:只是我們現在理解它時, 多半是站在model-proof這關係上
→ MathTurtle:來看, Tarski的工作帶來了很方便的角度來了解它。
→ dementia:樓上這麼專業 再聊下去會不會把西哲板變邏輯板阿 XD
推 MathTurtle:也無妨...邏輯版都是些益智問題和電路問題... XD
→ dementia:我愛睏 明天再聊 先晚安 (揮手
→ dementia:我對歷史不熟 M大知道當時的人怎麼理解不完備性定理嗎??
→ MathTurtle:其實我也不清楚...1930年代對我而言像是一個謎一樣
→ MathTurtle:只知道當時邏輯實証論正盛行, 然後Tarski開始他的形式
→ MathTurtle:語義的工作, 哲學界似乎要到1950年之後才有比較精采的
→ MathTurtle:發展, 也就是當哲學家開始對邏輯實証論感到不滿意時...
推 onlypower:雖然邏輯我接觸的很少，但很謝謝兩位的分享。
推 onlypower:現在只記得理髮師悖論算是哥德爾定理的一種簡易的理解方
→ onlypower:式而已。不過，這條定理大概也是被哲學家們誤解最嚴重的
→ onlypower:的數學定理之一。另一個常被哲學家誤解的，應該算是
→ onlypower:海森堡的測不準定理吧。
推 onlypower:不知道兩位可不可以簡易地說明一下哥德爾定理呢?最好用
→ onlypower:像我這種數理低能的人都可以較易理解的方式?
→ dementia:說...說來話長 讓我想一下有什麼比較簡短的說法吧 XD