Re: [分享]科學史 (伍) 後現代數學狀況

[MathTurtle (恩典)]

※ 引述《fw190a (las)》之銘言：
: ※ 引述《dementia (妖精尾巴魔導士)》之銘言：
: : 如果我們把T(x)視為"x是真的"
: : 那麼我們似乎會承認P ←→ T("P")
: : 然後再加上P ←→ ~T("P")
: : 就會得到T("P") ←→ ~T("P")
: : 這只要在承認古典邏輯的推論規則下就會得到
: : T("P") & ~T("P")
: : 因此矛盾
: : 如果我們拒絕矛盾
: : 似乎就要承認T(x)和"x是真的"不同
: ~~
: 補上論述，
: 上面這番代換一半是做個實驗看中文能不能表達，
: 另一半是想要問，放到一般言語中，一般人在第一句話應該就能看出問題，
: 為什麼用數學需要演算這麼多行才能證明一個矛盾呢
: (這邊算是很大栽問，我也沒整理好啥論述，只是提出一個疑惑)
: ~~
: 下面我再冒險的做一個實驗性的論述，用中文講哥德爾定理後面的意義:
: 對於一個語言系統的眾多指述，任何概念化的嘗試都無法保證其本身之真實。
: 重寫:因為真實的只有語言系統原初的設定，任何加上更多規則的嘗試都無法超越
: 語言系統初始設定即有之真實程度
: 再重寫:如果一個世界中有無限的經驗可以被取用來驗證，則任何概念化的做法，
: 皆會與經驗產生矛盾。
有點看不懂這一段的論述。

不過我可以補充一下diagonalisation lemma 來說明語言無法給出真概念這部份。
(就是上面那段)

真的會出現矛盾, 不是因為「不完備性」, 哥德爾定理只證明了不完備性,
並不是證明系統有矛盾。

會出現矛盾, 是因為我們企圖用該語言來「定義」(capture)「真」這個概念,
而出現矛盾的核心在於以下兩個要求:

(1) 我們希望該語言中有一個詞 T 能夠表達「真」這概念,

(2) 「真」概念若可被T表達, 它必須是滿足以下的條件:

        對任何句子P, T("P") iff P (即, "P"為真若且惟若P)

而對角化引理則是說, 如果這樣一個詞 T 存在於我們的語言中中,
那麼一定可以找的到一個句子 L, 使得 ~T("L") <--> L 成立 (可被證明),
而在這樣的句子上, 會與(2)矛盾。

因為矛盾的出現, 所以我們reject (1), 因而得到結論。
(當然也有人拒絕(2), 不過那就牽涉到你對「真」概念的理解是什麼了)


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◆ From: 86.30.200.58
推 somedoubt:請問你這說明哪裡來的？
→ MathTurtle:我是根據前面 demantia 提的說明加以發展一下,
→ MathTurtle:再加上我對 Tarski 東西模糊的記憶而來...
推 somedoubt:為什麼一定要把being true當作一階述詞？
推 fw190a:我也看不太懂，不過感謝你的補充XD
→ MathTurtle:你說不當成一階述詞的意思是什麼?
→ MathTurtle:是指當成二階述詞還是當成概念而非述詞呢
→ somedoubt:我的意思是truth assignment function有沒有包含在你的
→ somedoubt:語言內？對一個初階系統來說，可證的與可滿足的這兩個
→ somedoubt:性質都算是該系統內的合法述詞嗎？
→ somedoubt:如果不是，為啥為真算是該語言系統內的述詞？
→ somedoubt:有語誤，應該問我可以找到對應的述詞來表達可證與可滿
→ somedoubt:足這兩個性質嗎？
→ somedoubt:(1)(2)放在一起會導致矛盾需預設對角化引理在該語言系統
→ somedoubt:中成立，同時還要預設"p"及p都指設該語言中的語句，怎麼
→ somedoubt:想都不覺得這是很完善的批評。