→ puyoyo:貍貓桑 您還是點出問題在那兒吧 參考資料裡頭也差不多06/09 09:21
→ puyoyo:都是這些東西。難道那些數學家聯合起來騙人? 06/09 09:22
先聲明一件事情，其實我們現在口中的Gödel第一不完備定理說的其實是Gödel-Rosser
不完備定理，因為Gödel第一不完備定理有一些重要的補充是邏輯學家J.B.Rosser給出來
的，不過很多書籍都把Rosser的功勞給鬼隱了，但我下面還是稱Gödel-Rosser
不完備定理，另外下面的形式算術是指皮亞諾算術(必須包含乘法)。
另外前幾篇文章有人說哲學家不懂Gödel-Rosser不完備定理，但是根據我的經驗，許多分
析哲學家對Gödel-Rosser不完備定理是十分了解的，像有一本介紹此定理的專書，就是
劍橋哲學系的Peter Smith寫的。另外有一本很著名的可計算理論和數理邏輯教科書-
Computability and Logic 的三位作者(G.S. Boolos等)，都是哲學家。倒是數學系的教授
，據我所知對這個定理通常都有嚴重的誤解，例如台大數學系有一個很愛開高微的教授，
我這屆上課的時候就有說到這個定理，但整個敘述有嚴重的錯誤(台下的學生還抄得很開心
)，另外有一個台大數學系的兼任教授，專攻機率論，興趣旁及科學史與科學哲學，在他
有一本《微積分的歷史步道》，裡面也有講到這個定理，但整個敘述也是錯誤的，如果
你去問數學系的教授一些最基本遞歸論的知識，例如什麼是recursive set，什麼是
recursive enumerable set，什麼是recursively axiomatizable，其實大部分不是
專攻邏輯的教授應該都會搖搖頭。
然而，歐陸的確有蠻多哲學家誤解此定理，詳細的情況可參考Alan Sokal的《知識的騙局
》。
回到原題，原文有幾個地方的我認為是有問題的：
「
哥德爾定理表明，那種把全部數學知識與真理鑲嵌在封閉的形式化、公理化演繹系統中的
理想是無法實現的。"
」
「
注：哥德爾不完全性定理由以下兩條定理組成：(1)足以包括數論在內的任一形式系統中，
存在一個不可判定的公式——即一個公式和它的否定都是不可證明的。(2)足以包括數論在
內的形式系統的協調性在本系統中不能得到證明。
」
錯誤：不存在一個完備的形式算術系統，形式算術沒有完備的無矛盾擴張。
理由：這種說法有一個嚴重的問題，形式算術其實是存在無矛盾擴張的。做法有很多種，
先講一個思路，PA不完備的原因是不是因為公理不夠？這不能完全說錯，只是我們如果PA
只加一條axiom(稱作PA_1)，遞歸關係和可表達性沒有改變，所以仍可以找到一個不可判定
語句，同樣的再加一條axiom所形成的PA_2也是一樣。但考慮下面的方法：將PA公里集用歸
納定義給出無限的無矛盾擴張聯集得PA*，就得到一個完備化的系統。不過根據Gödel-Ros
ser不完備定理，PA*中axiom的Gödel number set變成非遞歸的(若否，就不完備)，根據
Church-Turing論題，不存在演算法來判定一個給定的formula是不是PA*中的axiom，也不
存在任何演算法可以確定一個有限證明序列是不是A*的證明。通俗的說，就是你不能寫一
個程式來判定隨便給一個formula是不是A*中的axiom，或是寫一個程式來判定某一個有限
文章是不是證明，那這樣的完備系統又有什麼用呢？
簡言之，Godel-Rosser不完備定理斷言：PA的任何遞歸無矛盾擴張是不完備的，因此，
Godel-Rosser不完備定理只適用於recursively axiomatizable的理論(也就是所有axiom的
Godel number set 必須 recursive)，只是大部分的通俗書籍為了避開遞歸論(可計算理論
)的知識，所以都把這個定理的敘述簡化成不嚴格的說法，然後加上一些感嘆和有問題的哲
學詮釋，仔細去看，中文版的wikipedia對歌德爾不完備定理也是錯誤的，英文版的寫法才
是正確的寫法。順便說一句，既然形式算術的無矛盾擴張是存在的，這樣Gödel-Rosser不
完備定理給出了一個很棒的東西：得到一個有趣的非遞歸集!
(David Hilbert大概作夢都沒有想到有這種東西，他曾經給出一個連續統假設的證明計畫
，卻把一個集合誤為recursive set，從他在提出Hilbert第十問題的說法和以往過於樂觀
的態度，似乎他把很多集合誤認為recursive set)
另外原文指出：
「
奈格爾和紐曼則進一步指出：“哥德爾不完全性定理表明，即使在基本數論中也有數不清
的命題是不能用這種公理化方法解決的。無論機器設計得多麼好，運算得多麼快，它都不
能對這些問題作出回答……哥德爾定理表明，人腦的能力和結構是至今任何非生命的機器
所不能比擬的。”
」
我很好奇這兩位為什麼會說出這麼荒謬的話..，因為他們據我所知他們對此定理的了解算
是深入的。基本數論中的確有很多問題根本不能用PA解決，舉個例子，Paris-Harrington
定理用形式PA是證不出來的，但在增強版的PA卻可以證出此定理。事實上，有許多數學家
開始熱衷比一階算術更強的二階算術，例如賓州大學的Stephen G. Simpson，我記得最近
很紅的牛津哲學家Timothy Williamson在一篇文章中有關注到這件事情。
至於「人腦的能力...」
之云云，也是有嚴重的問題，詳見下述。
接下來談到心智哲學的應用
「人類的思維和精神是不可能被完全模擬的。哥德爾不完全性定理告訴我們，數學認識活
動和數學思維的本質決不是形式化、算法化、程序化和機械化所能完全概括的。」
這完全是唬爛，的確Gödel-Rosser不完備定理似乎"暗示"這這樣的結論，但你仔細觀察
會發現，這樣的觀點有很多嚴重的漏洞和細節要補，以數學物理家Roger Penrose的論證為
例，他認為人類有一種心靈的洞察力可以判定歌德爾語句，但機器不能，但這種說法早就
被邏輯學家Martin Davis電到吱吱叫了，而計算機科學之父圖靈在1947年的演講早就指出
這種論證的漏洞，比Roger Penrose提出論證的時間早了40多年，也就是：Gödel-Rosser
不完備定理只會阻止只輸出真語句的演算法，但你想想看，每個數學家都會犯錯，Gödel
-Rosser不完備定理並不會阻止能輸出真也能輸出假的演算法。(詳細請參看Martin Davis
的著作Engines of Logic: Mathematicians and the Origin of the Computer)，另外華
裔邏輯學家、哲學家王浩的著作A Logical Journey: From Gödel to Philosophy中有一
篇也在談這個論證的問題。國內的邏輯學者蔡行健教授
也有很細緻的探討：http://oldthinker.nccu.edu.tw/new_paper/paper001/21-2.pdf
原文指出：
「
人的精神與思維的主體
性地位也開始被動搖。實際上，近代的日心說與進化論並沒有對人文精神和人的主體性構
成實質性的威脅，但當人的主體意識、人的精神與思維活動可以被模擬、被物化、被複製
，甚至最終被替代時，這才是一種真正的人文精神和人道主義的危機。所幸的是，在數學
真理的後現代發展中，人終於能夠堅守住關於人的本質的最後一道防線：在一切認識活動
中，人的最終主體性地位與終極性價值是無法取代和不可動搖的。這或許是數學真理觀的
後現代轉向對關於人的主體性及其意義的一個異質於激進的後現代解構主義立場的基本認
識論和價值論定位。
」
按照這篇文章的論證，這段話的成立是基於上面反機器論者的論證是成立的，很可惜據我
所知，還沒有一位哲學家或科學家能給出一個有說服力的論證。倒是圖靈機可以模擬人腦
似乎有一線曙光。(當然，這還會牽涉到很多心智哲學的問題)
嗚，這篇文章其實還有很多問題，有空再談。
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要怎麼將100隻貍貓關在15個籠子裡
而每個籠子的貍貓數量都不一樣
但是 每個籠子都要有可愛的貍貓喔
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◆ From: 118.169.227.3
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.227.3 (06/09 14:30)
推 iamice:推這篇~ 06/09 15:19
推 onlypower:推~ 06/09 18:55
※ 編輯: Hseuler 來自: 118.169.227.3 (06/09 19:57)
→ puyoyo:推! 06/09 20:08
→ puyoyo:這年頭像您這麼敬業的很少了，不知您有沒有興趣站在歐陸那 06/09 20:16
推 dementia:推 06/09 20:17
→ puyoyo:邊幫他們辯護，當然我們也滿希望看到目前『科學』的角度 06/09 20:18
→ puyoyo:的極至。(個人認為索卡沒有很公平的對待歐陸，他只是站在另 06/09 20:20
→ puyoyo:一邊批。雖然對，但仍然是偏頗的觀點。 06/09 20:21
這個問題有趣 等我有空我會回一篇
→ puyoyo:)括弧... :) 06/09 20:23
→ r19891011:敢問是陳金次教授和蔡聰明教授？ 06/09 20:38
真厲害..對，我覺得他們之所以會弄錯，是因為他們參考的一些數學史的書籍也寫錯了.
推 r19891011:推高手 06/09 20:41
→ puyoyo:這位，貍貓大。若真要回他應該會回 『只是隻貍貓』 :) 06/09 20:50
推 playskin:過癮！ 06/10 02:15
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