Re: [問題] 人都會死嗎? vs數學歸納法

[MathTurtle (恩典)]

※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言：
: ※ 引述《gj942l41l4 (豔鵪鶉)》之銘言：
: : 你猜對了，數學歸納法不能到無窮
: : 來舉個高中數學程度的例子
: : a_n = 1/2^n   來証 a_n > 0
: : n=1時A_1 =1/2 > 0成立
: : 設n=k時a_k > 0成立
: : 則n=k+1時，a_(k+1) = a_k / 2 > 0 顯然成立 (正數/正數仍為正數)
: : =>對於所有n，a_n>0恆成立
: : 但將n拉到無窮，lim(n to infinity) 1/2^n = 0
: : 正是一個數學歸納法不能推到無窮的簡單例子
: : 其實我不大懂能不能歸納到無窮跟科學有沒有比哲學好的關係在哪@@
: 其實這樣的論述有點問題
: 你把極限的概念跟集合基數的無窮混在一起談
: 數學歸納法的概念原則上是這樣:
: 假設S是一個集合(具有某種性質)，對每個S中的成員s都存在一個與s有關的命題P(s)。
: 如果你知道P(s)在某些S中的成員s是成立，則對所有S中的成員P(s)均成立。
: 我們用A來表示S的子集。我們用P(A)來表示當s屬於A時，P(s)成立。數學歸納法的精神就
: 在於P(A)到P(S)的過程。
: 集合S的基數(Cardinality)可以是可數(例如自然數整數)也可以是不可數。
: 自然數集合是無窮可數，但他是無窮集合。而歸納法是允許S是不可數的。
: 通常允許S是不可數集的歸納法我們稱為transfinite induction。

: 微積分取極限的過程跟數學歸納法是兩回事
你想說的好像是最後一句,

不過看不太出來這和你前面關於數學歸納法的描述有什麼關聯。
不知道能不能再多說明一點。

因為我看原 po 這裡的「取極限」明顯不是微積分取極限的過程,
只要是說明有一個狀況是: 令 P(x) 代表 1/2^x >0 這命題,
那麼雖然對於任何自然數s, P(s)成立,
但對於這些數的union, 即ω (即最小的無窮集), P(ω)卻不成立。

這應該才是原 po 的意思。


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◆ From: 82.26.7.187
推 herstein:因為取極限的定義跟數學歸納法是兩個不同的東西
→ MathTurtle:我不覺得原 po 有主張這兩個是相同的東西。
推 herstein:而命題在某些自然數對，可能也對正實數是對
→ herstein:並不能用"數學歸納法不能取極限"來說論述是不能取極限
→ herstein:因為取極限跟數學歸納法是兩回事
→ herstein:例如P(x): 2^x>0。我們知道x在自然數是對，實數也對。
→ MathTurtle:原 po 並沒有用"數學歸納法不能取極限"來說論述是不能
→ herstein:他沒有主張是相同，但不可以拿來討論。因為取極限跟數學
→ MathTurtle:取極限, 原po要說的是數學歸納法不能到無窮。
→ herstein:歸納法無邏輯關聯
→ MathTurtle:原 po 沒有把取極限和數學顧納法做出邏輯關聯啊
推 herstein:當他說"數學歸納法不能到無窮"，取的是極限的例子
→ herstein:就是再把兩個邏輯無關的東西試著做聯繫
→ MathTurtle:他只是拿極限當例子, 但是他的意思是 P(x)就算可以用
→ MathTurtle:在所有的自然數上, 但卻P(ω)不一定成立, 是用這個來
→ herstein:他這裡的無窮用的是極限的例子，很明顯的是他無窮指的是
→ herstein:取極限這樣的過程
→ MathTurtle:說明數學歸納法不能到無窮, 後面這部份不是極限
→ MathTurtle:那看你怎麼理解。我會把他這裡的無窮指的是ω
→ MathTurtle:而不是指取極限這樣的過程
推 herstein:而我上文說了歸納法的論數可以討論cardinality不可數的
→ herstein:要嘛就是討論自然數的，要嘛就是討論不可數的transfinite
→ herstein:induction...如果把極限拿來談歸納法就錯了
→ herstein:他如果想表達的是P(n)對自然數成立但對P(x)並不一定成立
→ herstein:這是有可能的，但這與數學歸納法無關
→ herstein:數學歸納法並不involve極限的過程
→ herstein:"所謂的數學歸納法不能到無窮"是一個奇怪的論述
→ herstein:所謂的無窮你指的是甚麼?你要討論他之前你必須先給定義
→ herstein:在自然數的數學歸納法中本身就不involve實數
→ MathTurtle:就是指 ω 啊...我不覺得這個有太大的問題。
推 herstein:那不叫做數學歸納法不能推及無窮
→ herstein:而是自然數的數學歸納法並不涉及P(x), x是實數
→ herstein:他討論的對象就是x屬於自然數或是自然數的子集
→ MathTurtle:嗯...最後這個我大致同意。
推 herstein:但能不能有歸納法是可以引入"極限"的
→ herstein:應該可以，只是要說明極限是甚麼。
推 herstein:只是不知道這樣的範疇大不大，有沒有用而已