Re: 為什麼一加一等於二？

[gamer ()]

　　剛剛找到一篇文章，作者是＜與南共舞BBS站>的Nicholas
板友，因為不知道怎麼聯絡到本人，所以請容許我未經同意的
轉載。如果原作不願意文章被轉錄，麻煩寫信告知，我會刪除
本文。
=============================================================================

本文轉錄自＜與南共舞BBS telnet://wolf.twbbs.org＞
 作者  Nicholas (南裔台北人)                                站內  Mathematics 
 標題  Re: 1+1=2                                                              
 時間  Tue May 18 09:17:31 2004                                               

※ 引述《arabica (憂鬱症..)》之銘言：
> 請問...1+1=2
> 要怎麼證明= =...
> 我們數學老師說可以證明...
> 有點不太相信說..
十九世紀末,數學家是這麼做的(例如Dedekind):
我們把1,2,3,...和加法當作已知，不去定義它，像"點"和"屬於"一樣,

定義符號 n^+ = n + 1 , 假如有一個無窮集合ω滿足這五條公設:
  1. 1屬於ω
  2. 若n屬於ω,則n^+也屬於ω
  3. 對每一個n屬於ω,n^+不等於0
  4. 若ω的一個子集X滿足公設1與2,則X就是ω
  5. 若n,m屬於ω,且n^+=m^+,則n=m
則我們稱ω為自然數,記為Ｎ.

所以我們把自然數這個集合定義完了,它是由我們已知的1,2,3,...和
已知的加法定義出來的.

這時的1+1=2是不用證的．

二十世紀的數學家對於這種定義無法滿足，主要是因為集合論的發展，
使得數學家想要把所有的東西都用集合與函數來表示，於是von Neumann
清楚定義自然數如下:
     [定義] 0 = Φ
            1 = {0} = {Φ}
            2 = {0,1} = {Φ,{Φ}}
            ...

     [定義] A^+ = A∪{A}
      得到  0 = Φ
            1 = 0^+
            2 = 1^+
            ...
加法可以定成滿足下列兩個性質的函數，唯一性是可以證明的:
 [定義]     A1. m+0=m  A2. m+(n)^+=(m+n)^+

於是我們可以證明1+1=2
proof:    1+1=1+(0)^+          by 1的定義
             =(1+0)^+          by A2
             =(1)^+            by A1
             =(1)^+            by A1
             =2                by 2的定義

但是如果你是數學家，你就可以看出這樣實在令人很不滿足，因為
我只定義個別的自然數，自然數所成的集合卻無法"有限地"寫出來，
當怎麼寫都寫不完時，這東西真的具體存在嗎？
所以只好接受一個假設：
　　存在一個這樣的無窮集合
這是集合論重要的一條公設，稱為無窮公設．

而像這樣定義之後，我們可以證明自然數是唯一的，這樣才算有定
義好，不像我叫做陳志偉，這個菜市場名表示我爸媽沒把我定義好．

二十世紀的定法可以證明十九世紀的五條公設，所以這五條就變成
定理，這件事告訴我們，數學的嚴謹性是因時而異，前人覺得嚴謹
，以後可能變得不嚴謹．

1898年,Whitehead和他的學生Russell在"數學原理"三巨冊中,給了
數學邏輯式的推導,建立了數學的基礎,版上有人一直傳言"1+1=2"
要證明100多頁,可能是因為這部書在第二冊才提到它.到目前為止
,這是最"嚴謹"的了.(第110條定理)

至於為什麼要把0定義成空集合,你只要把空集合的另一個符號"{}"
寫出來,便可以發現它正是代表沒有東西的狀態,相似的,1則是裡面
有一個東西的集合,{Φ}.這不是很自然嗎?

至於自然數有沒有包含0？
可有可無,端看定義．
若覺得零不自然，因為人類數數是從一開始數，那就把零排除．
若是從上述集合論的觀點來看，少了零才不自然．

只要定義清楚就沒問題了．
不過我覺得把零排除，以後使用起來比較方便．
據說，台灣好像普遍採用排除零的自然數系．


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 59.127.54.96
→ Babbage:本人就是我啊  XD
推 eliec:hi 樓上本人你好~  XD
→ gamer:囧了，應該叫學長吧。學長你好。
→ milen:真是奇遇啊XD
推 haryewkun:XD
→ Babbage:呵呵, 別這麼客氣啊  :P
推 Equalmusic:在集合論裡好像都是用 ω, 沒看過用 Ｎ 的
→ Equalmusic:慣例上感覺寫成 ω 都含有 0, 寫成 Ｎ 則沒有？