Re: [請益] 那我問一個數學好了

[xiaoa (沒有靈魂的人)]

※ 引述《Equalmusic (Calvin)》之銘言：
: 以下恕刪
: 說了這麼多, 你就想問, 為什麼
: 10 * (0.9 + 0.09 + ...) = 9 + (0.9 + 0.09 + ...) 對吧？
: 0.9 + 0.09 + ...前面 didij 已經說了, 用無限等比級數公式就行了
: （因為 0.9 < 1, 所以他的無限次方是 0, 不是趨近於 0）
: 所以 10 * 1 = 10 = 9 + 1 , 就這麼簡單
: 所以 0.99... * 10, 小數點後面的 9 還是一樣多
我知道你說的. 但問題是你們的看法還是我的看法對

我們都知道 0.99... 有∞個"9"
x10 過後 應該還是 ∞個"9" or ?

現在, 我們想要讓 10 x 0.99... - 0.99...
如果要嚴謹的證明, 我們就必須搞清楚 有多少個 "9"
9.9... 和 0.99..., 在小數點之後, 誰多一個"9"都不行吧?

那要怎麼證明, 10 x 0.99... 之後 是∞個"9" 還是 ∞+1個"9" (包括整數的部分)
Equal大的論述, 應該是說 ∞+1 = ∞

姑且接受
我們就先減..
  9.999......9...
- 0.999......9...
  9.00000...0000..?
最後一個是誰比較多個"9"呢?
一樣多嗎?
我們就直接比較二者的 ∞ 是誰的大, 或一樣

按Equal大的解釋 ∞+1 = ∞
那合理的說
∞+2 = ∞  也對
∞+∞ = ∞ 也對
那, 請問要怎麼證明: (number of "9" in 9.9...) = (number of "9" in 0.99...) + 1
        而不是      . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .  + ∞
而且必須是剛好?

所以有兩種推測
1. 無法計算(因為無法得知誰比較多or比較少)
2. 是應該是剛好一樣多, 扣除整數的"9" 則
        9.999......9...
      - 0.999......9...9
        8.9999...9999..1

如果你們還堅持 10x 0.99..之後, 會perfectly剛好多出一個"9" (不多不少剛好一個)

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請證明

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.244.42
推 nameofroses:我覺得你還是沒看清楚前面幾篇 XD
也許吧
我只是沒接受 無窮小 是不存在, 而不是 存在但找不到
噓 JASS0213:我覺得你還是不要再丟臉了，因為你連乘法都不會。
推 Equalmusic:樓上的不用這樣吧...先說一句 ∞ 基本上不能拿來加減
不能拿來減, 你又減......
 9.99... - 0.99... = 9
推 HuangJC:..樓上這樣就不對了,專業者要有耐心,不要傲慢..關機就好了
→ Equalmusic:所以碰到 ∞ 我們都會想辦法避開他
→ HuangJC:XD 超人刺中隱形俠
→ Equalmusic:剩下的交給板上強者吧...我要去吃飯了好餓...XDD
推 WINDHEAD:幫JASS0213翻譯:"乘以10"這個動作是兩個集合間的一一對應
→ WINDHEAD:兩個集合分別為{0.99..中的9}與{9.999...中的9}
→ WINDHEAD:"除以10"就是"乘以10"的反函數. 總之這兩個集合一樣多
謝謝. 我知道這個. 問題是後續的計算
推 WINDHEAD:其實這討論串看下來我還是不懂大家爭論的核心在哪
→ WINDHEAD:可行的步驟 : 用某種方式構造實數系(允許加減乘除)
→ WINDHEAD:再據此討論 0.9... 是這個實數系的哪個元素
好難 > <
※ 編輯: xiaoa           來自: 140.112.244.42       (06/06 00:22)
推 WINDHEAD:目前看起來, 你們似乎沒有共同的討論基礎
→ HuangJC:呵,我想到 p 進位;如果 0.999~ 我們無法思考,那我令它為一
→ HuangJC:單位,創造出 0.999~ 為一單位的進位體制,再來運算
→ HuangJC:另外 x^無限大 次方,我記得是檢驗 x 是否為 1 的好方法
→ HuangJC:當 x=1-  ,f=0;x=1+,f=無限大;只有 x=1 而非趨近,f才=1
→ HuangJC:那我能不能要求 0.999~^無限大次方 ,用這個方法證明?
→ HuangJC:當然,為了取信,我不允許先把 0.99~ 變成 1 再來算
→ nameofroses:我似乎沒有說無窮小是不存在啊 所以才說沒看清楚嘛XDD
推 HuangJC:樓上沒說,但 0.999~=1 的網頁裏是有這麼說;它說造成學生無
→ nameofroses:9.99...  跟 0.99...　都不是無窮大啊 = =
→ HuangJC:法接受,心理不安的理論之一是認為無窮小存在;但它不存在
→ nameofroses:這樣喔@@
→ xiaoa:歐, 口誤, 是 不等於0的無窮小 不存在.(你說0.000...? = 0 )
→ nameofroses:這裡有批九好無窮啊～　有需要就構造這個實數系吧～
→ xiaoa:JC大, "存在但找不到" 跟 "存在"意義不同喔
→ nameofroses:0.000...whatever = 0 這跟不等於0的無窮小何干?
→ nameofroses:我承認我不清楚無窮小是啥...但我的證明似乎跟它沒關
→ xiaoa:也對 XD   0.000...whatever 還不是無窮小
→ nameofroses:不如說說什麼是你說的無窮小
推 HuangJC:首先呢,無窮小不存在已經被承認了,先夾去配吧;再來談證明
→ HuangJC:我上一篇已經證過了呀,它不是存在而找不到,它是不存在
馬的,你推文這麼多. 我眼睛都瞎了.....
→ HuangJC:你必需知道,極限本身是加減乘除之外的一個新符號工具,它描
→ HuangJC:述的不是常數.比如 f'(x)|x=5 和 f'(2x)|x=5 並不同
→ HuangJC:更嚴重的,千萬不能 c=f(5),求出來後對 c 微分,那一定只有0
→ HuangJC:換言之,一個點的本身,是沒有斜率的,它最早就從求斜率的需
→ HuangJC:求去建構這個符號運算工具,我們可以想像它是一個和真理平
→ HuangJC:行的工具,你說它永遠不是真理,但它求的值永遠和真理夠近
→ HuangJC:再搭上連續,夾擠..這符號工具說它可以幫你求值,就這樣
→ HuangJC:一個點沒斜率,如果沒這工具,我們就只能求一個區間的斜率
→ HuangJC:但區間又可以無限小;所以點附在函數上可以求,點本身不能求
→ HuangJC:無窮小就像那個點,本身沒意義,但放進函數就有意義
→ HuangJC:這個點的左右極限是關鍵,連續也是關鍵;一但不連續,工具就
→ HuangJC:破功了,就算有漂亮的運算也不符合符號創建時的語意邏輯
→ HuangJC:所以它是一個數值加上語意的工具,和原先的加減不一樣
※ 編輯: xiaoa           來自: 140.112.244.42       (06/06 00:53)
推 HuangJC:x->c1 時,f(x)->c2 ,的確永遠不等於,但有機會 f(c1)=c2
→ HuangJC:如果連續,f(c1) 不等於 c2,那我也無法想像它要是多少..
→ nameofroses:我覺得xiaoa只是不接受沒有一個數"剛好"小於三吧　其
→ nameofroses:實有這個數　只是不是以2.999...表達罷了
我認為2.99...就"剛好"小於3

如果2.99...=3,
那就沒有"剛好"小於3的數
因為, 這樣看時 0.0000....1的差值被視為 0
但是, 任何限定的 0.0000000000001 都不能表示「剛好小於」這一個差
則三種可能:
1.「所有剛好小於3的數」 = 3 <--矛盾
2. 你無法表達「那一個剛好小於3的數」, 但它存在
   "無法表達"換句話說其實就跟"找不到"一樣
   事實上「那一個剛好小於3的數」是跟 我認為的 a = 1 - 0.99... 一樣
   a 就是「那一個剛好大於0的數」.....存在, 但無法表達/找不到的數
   這也會變成矛盾, 因為 3 - 2.99... = a 有差存在
3. 「所有剛好小於3的數」不存在

那如果"剛好大/小於x的數"不存在, 2.99...=3 沒問題
那 x < 1, 最靠近 1的x也不存在了, 就好像 x 和 1之間多了個空白區

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以上說法有點反來覆去, 但基本上就是2種:
1. a「那一個剛好大/小於的數」 存在, 但無法表達/找不到
2. a「那一個剛好大/小於的數」 不存在
※ 編輯: xiaoa           來自: 140.112.244.42       (06/06 01:45)
推 HuangJC:不存在..
※ 編輯: xiaoa           來自: 140.112.244.42       (06/06 01:49)
→ HuangJC:極限小不是常數,是一個可以用,但不存在的數 :P
→ nameofroses:樓上的意思是？
→ nameofroses: 喔喔
→ HuangJC:再討論下去,我家這邊的雞也要喔喔了~
→ nameofroses:有"剛好"小於3的數 只是無法用數字表達罷了
→ nameofroses:矛盾是因為 3 - 2.99... = a, a = 0 沒有差存在
推 Equalmusic:沒有剛好小於 3 的那個數, 這叫實數的稠密性
→ Equalmusic:給定任何兩個實數都可以找到第三個實數處於他們之間
→ Equalmusic:除非你要說 2.99...不是實數
推 nameofroses:這樣啊 ...
→ xiaoa:2.99...是實數 2.99....和3之間找不到第三個實數在他們之間
推 Equalmusic:其實任何兩個實數之間的數, 都跟實數軸上的數一樣多
→ Equalmusic:當然啦, 因為他們兩個是同一個數阿...
→ Equalmusic:好啦, 給定任意兩「相異」實數...囧
→ Equalmusic:如果你說 2.99...< 3 那 (2.99.. + 3)/2 等於多少？
推 Equalmusic:別跟我說這兩個相異「實數」不能相加除以二...
終於 XDD
WINDHEAD 說的果然是對的, 還是要架構出一個可以討論的實數空間才行
眾人云云都不能證明什麼
只有這才是核心

這裡順便說一下
之前有一篇 自然數和偶數是否一樣多的問題就可以用這個解釋
這跟"無限"的性質有關
自然數和偶數的無限多是同一個等級的, 叫 第一??
所以 自然數和偶數被認為是一樣的無限多
而實數的無限多是另一個更高的等級, 叫 第二??
目前還沒有發現更小或更大得無限
如果有高人知道是怎麼回事, 可以乘機騙點P幣

推 nameofroses:2.99....和3之間找不到第三個實數在他們之間←有你這
→ nameofroses:句話 就足夠證明2.99.... = 3 了!! 可喜可賀
※ 編輯: xiaoa           來自: 140.112.244.42       (06/06 03:03)
→ Equalmusic:我覺得風頭說的太複雜了...我們討論的就是大家從小學的
→ Equalmusic:標準分析教材裡面那四五個 postulates 阿...
推 Equalmusic:當你說 2.99...是 3 旁邊那個數的時候, 你就得面對
→ Equalmusic:他們相加除以二的那個數是什麼
→ Equalmusic:如果你沒辦法面對...那你就要問你的假設出了什麼問題
推 phreniax:其實這問題應該不會算難吧? 在我的經驗中~
→ phreniax:有心的話去找本代數來看吧^^
→ phreniax:把無線限維度的空間概念都看懂就懂了~
→ phreniax:這也是回你最後一段回文
→ phreniax:找點高等代數來看 脾氣好慢慢看 把"同構"學好
→ phreniax:你所說的什麼幾級無限 我跟朋友都戲稱大無限小無限~
→ phreniax:這也是高等代數裡面同構可以解決的
→ phreniax:其實說等勢和集合大小一樣  這是不對的
→ phreniax:大一的線性代數裡面 你可以輕易找到等勢卻不同構的例子
推 phreniax:T屬於線性映射從V打到V普浪 兩個空間都是無限多個元素
→ phreniax:但是基底個數不同 這邊就有你腦中大無限跟小無限的差異了
→ phreniax:那個0.9999~乘十之後 還是同一個無限多維~
推 Equalmusic:不是很懂你說的...為什麼會講到代數或是同構？
→ phreniax:也就是說T的例中  前空間的元素有可能後空間"展"不出來
→ Equalmusic:集合大小只跟集合元素有關...跟他的 binary operation
→ Equalmusic:有什麼關係？
→ phreniax:但0.999~的  可以展得出來(from同構)
→ Equalmusic:同構必須要兩個相同的 system 才會同構
推 phreniax:你口中的system的在數學上定義是?
推 phreniax:提到代數只是方法之一
推 Equalmusic:定義就是 non-empty set 配上 binary operations
→ Equalmusic:像群為 (G, *), 環為 (R, +, *) 之類的
→ Equalmusic:同構的意思就是運算前映射跟運算後映射結果一樣
→ Equalmusic:沒有運算的話和來同構？
推 phreniax:ㄜ 運算前映射跟後映射的結果一樣 還不是同構
→ phreniax:ONE TO ONE AND ONTO 才是
→ phreniax:可能要請你找大一線性代數裡面定義看了
→ phreniax:解決這文的問題必須在無限多維用同構的等價命題解決
→ phreniax:其實代術真的很好用= = 常常算微積都要靠代術才能在算下
→ phreniax:去~ 只是代數中可實際應用的部分遠比微積分少
推 Equalmusic:這...這我當然知道阿...bijective 是前提阿 囧
→ phreniax:不然代數可是比微積分有著"更高"觀點呢^^
→ Equalmusic:先映射後映射是 homomorphism 的條件阿
→ Equalmusic:重點在於這跟集合元素數量完全沒關係吧...
→ Equalmusic:兩個集合要是沒有 bijective...更不用談同構了
→ phreniax:充分?還是必要? 還是充要?
→ Equalmusic:而之所以能同構, 前提就是兩個集合一樣大阿
→ phreniax:不是...是要證出同構 就是一樣大的無限...
→ phreniax:前後順序反了...
→ phreniax:"一樣大的無限"是用xia的口吻講的~書上沒這樣的用詞
→ phreniax:(在證出來之前誰知道集合一不一樣大 我只是提供一個方法)
推 Equalmusic:順序哪裡反了？我講的不是跟你一樣嗎？
→ phreniax:你剛用了"前提"兩字
→ phreniax:你口中前提所指涉的東西就是要用"同構"證的 怎能是前提
→ Equalmusic:你的問題範疇錯誤, 兩個集合一樣大跟他們構造一不一樣
→ Equalmusic:根本是兩個概念...
→ phreniax:談數學時候請務必小心 前提 結論 充分 必要等 的詞彙
→ Equalmusic:哇咧....bijection 怎麼會要用同構來證
→ phreniax:我從來沒提到集合理元素的構造..我只談數量...
→ Equalmusic:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數
→ Equalmusic:isomorphism 指的是一個 bijective 的函數
→ Equalmusic:滿足運算前映射跟運算後映射相同....你不是數學系的吧.
→ Equalmusic:同構就是指構造一樣, 不然為什麼叫同構？
→ Equalmusic:兩個 system 同構意思就是兩個 system 可看做一樣
推 phreniax:從你的說詞中bijectve就是iso 但我們就是要說兩集合iso
→ phreniax:才是一樣大的 但怎麼又會說要bi當前提...
推 phreniax:阿我用詞要更精準 bi等價iso   不是"就是"
→ phreniax:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數
→ phreniax:這是您說的 這命題其實是不精準的(雖然我能理解你要說的)
→ phreniax:^^
推 phreniax:等了一下 看來該說晚安了
→ phreniax:只是丟個我"看過"的解決方法(並非我想出的)
→ phreniax:有心的話去挖書看吧^^
推 Equalmusic:我集合論跟代數都很弱...但請指出我哪裡需要再看書？
→ Equalmusic:我另外回了一篇, 為了怕講錯我還特別翻了以前的書出來
推 ANXAN:難道有人不知道其實學界中bi有歧義嗎 像是台大楊維哲那派
→ ANXAN:都很不喜歡用bi
噓 ANXAN:兩個集合要是沒有 bijective...更不用談同構了
→ ANXAN:bijection 指的是一個能 1-1 跟 onto 的函數
→ ANXAN:isomorphism 指的是一個 bijective 的函數
→ ANXAN:沒有人發現前後語意邏輯矛盾嗎
→ ANXAN:還問人家是不是數學系的= =
推 Equalmusic:哪裡矛盾？願問其詳
推 Equalmusic:大前提 bi, 小前提 homo, 結論 iso, 哪裡矛盾？
→ skyviviema:有人不甘心就換個ID噓人來耶  好不磊落
推 WINDHEAD:我比較想問楊維哲那派是哪派? 從沒聽過這東西也有分派...
推 Equalmusic:真的耶, IP 一樣 XDD
→ Equalmusic:我也只學過一種 bijection, 就是 Wikipedia 上那種
→ sneak: 大一的線性代數裡面 你 https://daxiv.com