Re: [問題]微甲問題

[euphrate ()]

           1
Eg. lim { ---- } = 0
     n     n

        a_n = {1/n}

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        Pupil  vs 老師Cauchy vs 助教Weierstrass
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Pupil : 請問老師，這個數列的極限為何?

        我 n 代100      ，a_n = 0.01
           n 代10000    ，a_n = 0.0001

           n 愈來愈大   ，a_n愈來愈小！

        我可以說 1/n 之極限為 " 0 " 嗎 !?

老師Cauchy : 可以的，但要注意，與其說a_n愈來愈小...不如說a_n愈來愈靠近 0
             所以才以 0 為其極限。

Pupil ：怪哉，但 1/n 恆不為 0 也 ! 其中可有予盾之處 ?

老師Cauchy : 無盾予也，說

                        "a_n 之極限為 0"    ...........    P

             意思是

                        "a_n 愈來愈靠近 0"   ...........   P

             與

                        "a_n =\= 0 (for every n)" .......  Q

             是兩回事，可同時成立。

Pupil  : 似有理也。但學生以為，Q為一算術語句 a_n = 0 或 a_n =\= 0

         清楚無疑。但 P :  "a_n 愈來愈靠近 0" 似乎是自然的語言，人類的語

         言，有辦法把它定義的更清楚嗎 ?


老師Cauchy : "愈來愈靠近" 就是 n 愈來愈大，|a_n - 0| 愈來愈小。

             小的程度隨 n 愈來愈大而愈來愈小...

Pupil  : 我有點迷糊了... 這所謂 "愈來愈" 的意思到底是 .... ?

老師Cauchy : 嗯,,, 時間到了，今天就先下課吧~"~


--- 滿腹疑問的Pupil 只好跑去找助教W


...

助教W : 我大概知道你的疑問了，我也思考這問題良久了...

Pupil  : 是阿! 這 "愈來愈"的意是到底是啥!!

助教W : 不然這樣吧 既然你說 { 1/n } 的極限是  0

        我就來挑戰你一下

Pupil  : 好吧

助教W : 你說 |1/n - 0| 為愈來愈小，到底是有多小呢 ?

Pupil  : 應該是想多小，就有多小吧...

助教W : 比如說 |1/n - 0| 可以比十分之一還小嗎 ?

Pupil  : 可以吧 ! 比如 n 代 11 就 ok

助教W : 可是 n代1,2,3, ..., 10 都不行啊

Pupil  : n代1,2,3, ..., 10 確實不行啊，但 n代11就可以, 12也行

助教W : 所以n要夠大才行 ?

Pupil  : 你說的對 !

助教W : 好吧，我今天要求 |1/n - 0| 比十分之一還小

       ，n比10大的話的確過關，但如果我要求 a_n 更靠近 0 呢?

Pupil : 不然你想多靠近? 先說好，你也知道 a_n 決不會等於0喔 !

助教W : 我知道 |a_n - 0| = 0 辦不到，那我要求 |1/n - 0| 比 0.0001還小好了

Pupil : 也太看不起人了吧 :

                |1/n - 0|  <  0.0001

        也就是
                      1/n  < 0.0001

        也就是          n  > 10 000

        所以 n = 10001, 10002, 10003, ...... 都 ok !

助教W : 但...

Pupil : 我知道 我知道 ，n比10000小的話就不合你的要求

        但n比10000大總是都 ok !

助教W : 但這次你的n要大於 10000了， 剛剛你的n只要大於10就好了


Pupil : (癈話!) 嗯...助教，因為你這次要求更靠近了呀 ....

        前回 :

                要求 :   |a_n - 0|  < 1/10      回應 : n必須要大於10

        今回 :

                要求 :   |a_n - 0|  < 0.0001    回應 : n必須要更大了(多大?)
                                                       n必須要大於10000

助教W : 好吧，那我再要求...

Pupil : 等一下 !  不管你怎麼要求，只要是何理的，我總可以告訴你n要多大就可以

        滿足你的要求!

助教W : 怎麼說 ?

Pupil : 比如說你要求 |a_n - 0| < e，             (Given epsilon)

        只要是何理的 就是你不能說 e=0 或 e= -1等等， (epsilon >0)

        我總可以告訴你n要多大                    (there is a N)

        就可以                                   (For all n > N)

        滿足你的要求!                            (|a_n - 0| < e)

助教W : 你這個 N ...


Pupil : 這個 N 要算一下 :

        |a_n - 0| < e

        |1/n - 0| < e

        1/n < e

        n  > 1/e

        所以 N 要選一個比 1/e還大的自然數


助教W : 你要選給我看

Pupil : ....這麼機車       好吧

        N = [1/e] + 1 好了

助教W : 你這 +1 很奇怪 我可以 +2嗎

pupil : 當然 :

        n > N = [1/e] +2  時  必有  n > 1/e

助教W : 的確，不管我的e怎麼要求，你這個N都可足以應附 |a_n-0|<e 這個要求


pupil : 所以 .. ?

助教W : 所以剛剛一連的過程就是極限的定義了

        關鍵在找這個N

pupil : 好像是 ，只要這個N找出來 就能滿足 "要多靠近，有多靠近了"

助教W : yes，

        1. 你宣稱 a_n 的極限是 L  (這通常由觀察而得)

        2. 所以你就 宣稱

           "for all (you give me) e > 0,

            exists (i can find) a natural number N, s.t

            whenever n > n , (i can show you)  |a_n - L| < e

        3. 為了證明這件事 你就真的要去找這個N

            而因為這個 N 是為了 應付 |a_n - L| < e 而生

            所以 我們要從 |a_n - L| < e 出發

            來看看  N 要底要取到什麼程度 才能滿足你這貪得無厭的 e


Pupil : 喔喔 ! 這樣說的確很清楚了

W : 來發paper吧，我們會名留青史

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以此文紀念現代分析之父 :

        Karl Weierstrass (German : 1815 - 1897)


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推 dd14702006:推推~~
推 wctaiwan:好清晰精闢的解釋
推 JT0109:看了好久=口=... 我還是背下來好了(誤
推 Fred0329:讚 感恩
推 raychin4563:助教循循善誘~好厲害(拜)
推 chy1010:    助教循循善誘~好厲害(拜)
推 han960691:這...兩個人有點討厭XD