※ 引述《weifuSDT (知名不具)》之銘言：
: HELP me please,
: how to prove (p-1)! = -1 (mod p) for a prime p.
: (hint:you may use the fact that there are no nontrivial solutions
: fot X^2 = 1 (mod p)
對 1,...,p-1 中的任一數 x
(x,p)=1 => 存在 u,v 使得 ux+vp=1 => 存在 u 使得 ux=1 (mod p)
這個 u 在 mod p 之後是唯一的 (ie 在 1,...,p-1 中是唯一的)
因為如果 ax=1 (mod p) 且 bx=1 (mod p)
則 a=abx=bax=b (mod p)
在 1,...,p-1 中任一 x
若 x^2 !=1 則會剛好有另一個數 y 使得 xy=1 (mod p)
唯一的例外是 x^2=1 (mod p) 的解
p|x^2-1 => p|(x+1)(x-1) => p|x+1 or p|x-1
=> x=1 or -1 (mod p)
=> 在 1,...,p-1 即 1,p-1 兩者是例外
所以 (p-1)!=1*2*...*(p-1)=1*(p-1)=-1 (mod p)
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