※ 引述《leemj (Go hiking)》之銘言：
: 今天考試
: 這二題算了一個小時還是想不出來
: 請kevin幫幫忙…
: 1.Prove
: sinx+sin3x/3+sin5x/5+...=PI/4 (0<x<PI)
: =-PI/4 (-PI<x<0)
: 2.int cos(x*x) dx from 0 to infinite
2. int cos(x^2) dx = (1/2) int cos(t)/sqrt(t) dt (t=x^2)
(0,inf) (0,inf)
利用 int exp(-x^2) dx = sqrt(pi)/2
(0,inf)
=> 1/sqrt(t) = 2/sqrt(pi) int exp((-x^2)t) dx
(0,inf)
=> int cos(x^2) dx
(0,inf)
= 1/sqrt(pi) int int exp((-x^2)t)cos(t) dx dt
(0,inf) (0,inf)
因 lim int exp((-x^2)t)cos(t) dx
c->0,d->inf (c,d)
對所有 t in any [a,b],0<a<b<inf 均勻收歛
=> int int exp((-x^2)t)cos(t) dx dt
[a,b] (0,inf)
= int int exp((-x^2)t)cos(t) dt dx
(0,inf) [a,b]
Let a->0, b->inf
=> int int exp((-x^2)t)cos(t) dx dt = int int ... dt dx
(0,inf) (0,inf) (0,inf) (0,inf)
(這段只是說明對 x 與對 t 的瑕積分次序可交換)
int exp((-x^2)t)cos(t) dt
(0,inf)
= exp((-x^2)t)sin(t) |inf,0 - int (-x^2)exp((-x^2)t)sin(t) dt
(0,inf)
= -(x^2)exp((-x^2)t)cos(t) |inf,0 - int (x^4)exp((-x^2)t)cos(t) dt
(0,inf)
= x^2 - x^4 int exp((-x^2)t)cos(t) dt
(0,inf)
=> int exp((-x^2)t)cos(t) dt = x^2/(1+x^4)
(0,inf)
=> int cos(x^2) dx = 1/sqrt(pi) int x^2/(1+x^4) dx
(0,inf) (0,inf)
變數變換(1/x 代 x)可得 int x^2/(1+x^4) dx = int 1/(1+x^4) dx
(0,inf) (0,inf)
=> int x^2/(1+x^4) = int (1/2)(1+x^2)/(1+x^4) dx
(0,inf) (0,inf)
1+x^4=(1+x^2)^2-(sqrt(2)x)^2
=> (1+x^2)/(1+x^4)=1/2(1+sqrt(2)x+x^2) + 1/2(1+sqrt(2)x+x^2)
=1/(1+(1+sqrt(2)x)^2) + 1/(1+(1-sqrt(2)x)^2)
=> int (1/2)(1+x^4)/(1+x^4)
(0,inf)
= (1/4)sqrt(2)[ arctan(1+sqrt2(x)) - arctan(1-sqrt(2)x) ] |inf,0
= pi/(2sqrt(2))
=> int cos(x^2) = 1/sqrt(pi) pi/(2sqrt(2)) = sqrt(pi)/2sqrt(2)
(0,inf)
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