※ 引述《leemj (Go hiking)》之銘言：
: 今天考試
: 這二題算了一個小時還是想不出來
: 請kevin幫幫忙…
: 1.Prove
: sinx+sin3x/3+sin5x/5+...=PI/4 (0<x<PI)
: =-PI/4 (-PI<x<0)
: 2.int cos(x*x) dx from 0 to infinite
1. 因為此序列是奇函數, 所以只要考慮 0<x<pi 的情形就行了
考慮 f_k(x)= sum sin((2i-1)x)/(2i-1)
i=1 to k
則 f(x)= lim f_k(x) 就是我們要的解
k->inf
(f_k)'(x)= sum cos((2i-1)x) = sin(2kx)/2sin(x)
i=1 to k
=> f_k(x)= int sin(2kt)/2sin(t) dt
[0,x]
又 f_k(pi/2)= sum sin((2k-1)pi/2)/(2k-1) = sum (-1)^(k-1)/(2k-1)
i=1 to k i=1 to k
由 arctan(x)=x-x^3/3+x^5/5-...
=> lim f_k(pi/2)=arctan(1)=pi/4
k->inf
考慮 g_k(x)=f_k(pi/2)-f_k(x), 則
g_k(x)= int sin(2kt)/2sin(t) dt or - int sin(2kt)/2sin(t) dt
[x,pi/2] [pi/2,x]
試 x<pi/2 或 x>pi/2 而定
不論是哪個, 就假設 A=min(x,pi/2), B=max(x/pi/2)
則 g_k(x) or -g_k(x) = int sin(2kt)/2sin(t) dt
[A,B]
給定任意的 e>0
考慮 N 使得 pi/N < min(A-0,B-A,pi-B)
因 h(t)=1/2sin(t) 在 (0,pi) 連續, [A-pi/N,B+pi/N] in (0,pi) 是 compact
可取 M 使得 M > |h(t)|, for all t in [A-pi/N,B+pi/N]
與 d0 使得 |h(t)-h(t+x)|<e/2pi for all t in [A,B], 0<x<d0
取 K 使得 M(pi/K) < e/2 且 pi/2K < d0
則若 k > max(K,N/2), 因 sin(2k(t+pi/2k))=-sin(2kt)
g_k(x) or -g_k(x) = int sin(2kt)h(t) dt
[A,B]
= 1/2 int sin(2kt)h(t) dt - 1/2 int sin(2kt)h(t+pi/2k)
[A,B] [A-pi/2k,B-pi/2k]
= - int sin(2kt)h(t+pi/2k) dt + int sin(2kt)h(t) dt
[A-pi/2k,A] [B-pi/k,B]
+ int sin(2kt)[h(t)-h(t+pi/2k)] dt
[A,B-pi/k]
=> |g_k(t)| <= M(pi/2k)+M(pi/2k)+(A-pi/2k-B)e/2pi <= e
=> g_k(t) -> 0 as k->inf for all t in (0,pi)
=> f(t)= lim f_k(t) = lim (f_k(pi/2)-g_k(x))
k->inf k->inf
= lim f_k(pi/2) - lim g_k(t)
k->inf k->inf
= pi/4
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