※ 引述《Colaman (宇宙洪荒)》之銘言：
: 今天教小朋友的時候
: 一句話差點脫口而出
: "線就是一堆點堆起來"
: 後來想想不對
: 線是有長度寬度是0的
: 但是點根本沒有大小
: 一堆沒有大小的東西要怎麼說加起來會有長度呢?
數線上有兩個點 A, B
一開始的距離是 3 , 即 線段AB = 3
然後 B 發春似地往 A 衝去, 直到你想多近就有多近
學術上記作 B->A
請問線段AB退化成什麼幾何圖形?
請問線段AB的長度變成多長?
我上篇回冠宇的文中說
不應把積分想像成把點加總, 應該視為把小線段加總
但我不否認點是線段的退化這樣的說法
小池說過
「我先說他不等於零，所以可以除，再說他等於零，所以答案就是、、、」
在積分中, 這段話可以改成
「我先說他們都不是零，所以加起來不是零，再說他是零，所以、、、」
另外
由實數和數線上的點一一對應這個想法出發
說線是點的集合並沒有錯
例如, 1~2 這條線段就是 {x|1<x<2}, 1.5 這個點就是 {x|x=1.5}
線段怎麼不是一堆點堆起來??
只是
你不能說 A~B = A~A + A0~A0 + A1~A2 + An~An + B~B (n->infinite)
其中, A0...An為A~B上的分割點
你應該說 A~B = A~A0 + A0~A1 + A1~A2 + ... + An~B (n->infinite)
在適當的分割下, Aj~Aj+1的長度 在 n 趨近於無窮大時會收斂於零
但這件事和他們加起來等於多少並沒有什麼直接的關係
(註, A~B表線段AB)
: 所以我決定換說法
: "線是表示點的軌跡的幾何圖形"
當然
這樣的說法也是對的
"軌跡" , 即 "運動路徑", 就是實數連續性的展現
否則按芝諾的詭論, 運動就不可能了
總之
你這樣的解釋和「線是點的集合」或「線是實數的集合」一無兩般
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盡如人意
就不叫人生。
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