Re: [問題] 徵求數學高手~~

[LimSinE (r=e^theta)]

作出來了。
我先直接用交換求和(這個可換的驗證很枯燥，從略)的方法好了。
以下Sigma(k)是從1至無限大、Sigma(i)是從0至n-1
C(a,b)是組合數：C a取b
期望值E
= Sigma(k) {k*n*Sigma(i)[(n-1-i)^(k-1)*(-1)^i*C(n-1,i)]/n^k}
NOTE:
其中k是恰取k次的意思，而後面是它的機率。分母n^k就是所有的取法。
而分子的n是最後一個球的號碼選擇，它一定只能被取一次。
整個Sigma(i)就是其餘k-1個球中分別是那n-1種球(而且每種都有)的排列數。
是用排容原理，i是指至少沒有i種球的情形。所以

E=Sigma(k){k*Sigma(i)[((n-1-i)/n)^(k-1)*(-1)^i*C(n-1,i)]}

=Sigma(i){C(n-1,i)*(-1)^i Sigma(k)[k*((n-1-i /n)^(k-1)]}

=Sigma(i){C(n-1,i)*(-1)^i [n^2/(1+i)^2]}
NOTE:
這一步是把後面的Sigma(k)算出來，注意到它是差比混合數列。
此外，n/1+i *C(n-1,i)=C(n,i+1)這點可直接驗證，所以

E=n* Sigma(i){C(n,i+1)/i+1 *(-1)^(i+2)}
=n* Simga(j=1 to n){C(n,j)/j *(-1)^(j-1)}
=n(1+1/2+1/3+...+1/n)
NOTE：
最後一個等號是常見的恆等式，可是一定很多人沒看過。
雖然理論上翻書就有，但是如果我夠無聊的話就把那個證明打上來。

我在想會有多少人細看這篇文章。

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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。

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◆ From: 61.70.211.116
→ vogoho:我...我....
→ vogoho:你不信喔...可是我真的有嘗試阿^^
→ LimSinE:相信你啦。
→ chericherub:我不用看也知道我看不懂呀^^"
→ wanderer:我也有看..後面還不太懂..會慢慢想的:)
→ JGU:真的有看?!怎麼沒幫忙抓漏...
→ JGU:我自作聰明的讓 k 從 n ~ ∞ 反而更複雜><
→ pc610:嗯我的確不適合數學系.
→ wanderer:可是我看不懂他寫的XD
※ 編輯: LimSinE         來自: 61.70.211.116        (10/19 22:01)
→ amozartea:坦白說我努力了但是還沒看懂..