→ chericherub:謝謝你們~等我看懂,我就要跟教授ㄠ滿分XD 推218.174.152.152 10/24
※ 引述《wanderer (哇拉拉~)》之銘言：
: 1/q ,當x=p/q屬於有理數 (p,q)=1 ,q>0
: f(x)=
: 0 ,當x屬於無理數,不屬於有理數時
: 試證明:
: 在a屬於有理數時, f(x)在x=a不連續
: 在a不屬於有理數時, f(x)在x=a連續
只要證明 lim f(x) = 0 對於所有的 a 就好了
x→a
給定 ε > 0 , 則存在正整數 n 使得 n > 1/ε ....(*)
令 S = { |(r/m) - a| |m為不大於n的正整數,r為整數,且 a-1 ≦ r/m ≦ a+1 }
設 S 中非 0 的最小元素為δ, 則 δ > 0 ....(**)
若 0 < |x-a| < δ => |x-a| 不屬於 S => |f(x)-0| = f(x) < 1/n < ε #
(*) 這裡用到阿基米得定理,不過應該沒關係
(**) 這裡可能要說明 S 是非空有限集而且不是 {0}
最後一步 f(x) < 1/n 是因為 x 不屬於 {r/m | m為不大於n的正整數,r為整數}
所以若 x = p/q 是有理數,則 q > n => f(x) = 1/q < 1/n
若 x 是無理數,則 f(x) = 0 < 1/n
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※ 編輯: JGU 來自: 61.230.45.105 (10/23 20:30)