Re: 這個完全超出我能力範圍...

[LimSinE (r=e^theta)]

※ 引述《NLC (誰來教我普化-.-|||)》之銘言：
: 設一數列f(n),n>=2，此函數在整數點皆不可微
: lim  f(n)=OO
: n→OO
: 試證明
: lim  [f(n)/n]=lim  [f(n+1)-f(n)]
: n→OO         n→OO
: 再次尋求高手

如推文，必須要確定右邊極限存在才行。設為L。下分幾個步驟。

一、
下證對於所有epsilon > 0，存在N1 使得：對所有n > N1 ，f(n)/n < L+epsilon
pf:
已知右邊極限存在，故存在M 使得對所有 n > M，f(n+1)-f(n) < L+epsilon/2
又lim f(M+1)/n = 0 (因為f(M+1)是定數)，故
存在 N'使得對所有n>N f(M+1)/n < epsilon/2，取N = max {M,N}
則若n>N1>=M, f(n) = [f(n)-f(n-1)] + [f(n-1)-f(n-2)] + ... + [f(M+2)-f(M+1)] + f(M+1)
兩邊同除n，注意到前面所有的[ ]都<L+epsilon/2 故
對所有n>N1>=M，都有f(n)/n < L+ epsilon/2 + f(M+1)/n < L + epsilon。

二、
類似第一步，可證對所有epsilon > 0 存在N2使得對所有n > N2，f(n)/n > L - epsilon

三、
回到原題：給一epsilon > 0
由一、二知存在N1、N2使得
對所有的n > N1，f(n)/n < L + epsilon，又，對所有的n > N2 f(n)/n > L - epsilon
故取N = max {N1,N2}便有
對所有的n > N， L - epsilon < f(n)/n < L + epsilon
i.e. |f(n)/n - L| < epsilon，這麼一來就證完了。

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1.頭戴竹笠微  遮日頭也微  頭矇那枕頭微 微到昏了頭       L'Hopital Song
        *站也微坐也微  愈微汗愈流  大家那協力啊微  來打拼噯喲微* (Repeat*)
2.腳踏單車微  躲水裡也微  手牽那鉛筆微  微也微不完(散)
        *日時微晚時微  水冷尚難微  大家那協力啊微  來打拼噯喲微* (Repeat*)
3.手拿鋤頭微  風颱來也微  我勸那大家微  不微就艱苦
        *子也微母也微  為著是極限  大家那協力啊微  來打拼噯喲微* (Repeat*)

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◆ From: 61.70.211.116
→ JGU:那 f 在整數點不可微, f -> OO 都沒用到?
→ JGU:NLC 能不能說一下題目的來源?
→ NLC:微積分作業......
→ LimSinE註:f是數列，說不可微只是不讓人用羅必達吧？       61.70.211.116 05/12
→ LimSinE推:其實如果下面極限為正就自動有f(n)->inf