作者JGU (sufficiently nice)
看板ck55th325
標題[轉錄][轉錄]關於中央極限定理之謬思
時間Fri Jun 25 09:25:32 2004
※ [本文轉錄自 TigerBlue 看板]
發信人: slimppk.bbs@wretch.twbbs.org ( 著 唬 ζ 作 爛 ), 看板: TigerBlue
標 題: [轉錄]關於中央極限定理之謬思
發信站: 無名小站 (Thu Jun 24 17:59:51 2004)
轉信站: ptt!Group.NCTU!grouppost
Note: 本文因含有大量
圖表, 因此相當
冗長!
中央極限定理, 學過統計或機率的, 幾乎無人不知。然而
知是知其名, 卻不知其內容!
誤解之一: 只要樣本夠大, 資料就會像常態分布。
誤解之二: 不論任何群體, 只要 n>30 就是大樣本, 就能
近似常態近似得很好。
誤解之三: t 分布在自由度達 30 以上時, 就接近常態,
這就是中央極限定理。
第一個錯誤, 是完完全全弄錯了! 根據大數法則, 當樣本
夠大時, "樣本分布 (sample distribution)" 或 empirical
distribution 將會接近群體分布。群體可以是任何分布,
當然樣本資料不必然接近常態! 例如以下是從對數常態群
體 (參數: (0,1)) 抽出的兩個大樣本分布:
| |
| * n=10000 | * n=32000
25+ * .25+ *
| OO | OO
| OO | OO
| O@ | O@
20+ OO .20+ OO
| OO | OO
|OOOO* |OOOO*
|OOOO |OOOOOO
15+OOOOO@ .15+OOOOO@
|OOOOOO |OOOOOO
|OOOOOO |OOOOOO
|@OOOOO@O |@OOOOO@O
10+OOOOOOO@ .10+OOOOOOO@
|OOOOOOOO* |OOOOOOOO*
|OOOOOOOOOO |OOOOOOOOOO
|OOOOOOOOO@* |OOOOOOOOO@*
05+OOOOOOOOOOO@ .05+OOOOOOOOOOO@
|OOOOOOOOOOOO@@ |OOOOOOOOOOOO@@
|OOOOOOOOOOOOOO@@@@OO |OOOOOOOOOOOOOO@@@@
|OOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@@@@@@@ |OOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@@@@@@@
00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+ .00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
.00 2.00 4.00 6.00 .00 2.00 4.00 6.00
兩個樣本都很大, 以致於它們的分布幾乎沒有差別, 而且
也與群體分布 ("*" 及 "@" 所描繪的是 log-normal(0,1)
的密度曲線; O 與 @ 為模擬之分布) 非常接近。
上列第一個錯誤只要頭腦稍微清楚些或稍微比較用心點就
可以避免; 但幾乎九成以上的學習者, 甚至少部分教科書、
參考書的作者, 卻都犯了第二種錯誤, 主張 n>30 或≧30
就是大樣本, 就可適用中央極限定理。事實不然! 以二元
反應群體 (Bernoulli 群體) 而言, 一般要求 np, nq 均
≧5。因此, 當 p 接近 0 或 1 時, n 必須很大。以均勻
分布群體而言, 只要 n=12 就能得到還不錯的結果:
|
群體 Uniform(0,1), 樣本數 n=12,
10+
樣本平均數的抽樣分布 (模擬10000組樣本)
| @@@@
| @@OOOO**
| *OOOOOOOO*
08+ OOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOO@OO
| O@OOOOOOOOOOOO@O
| @OOOOOOOOOOOOOO@
06+ OOOOOOOOOOOOOOOO
| *OOOOOOOOOOOOOOOO@O
| * OOOOOOOOOOOOOOOOO@
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
04+ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
02+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| O@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
| *@@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@*
00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
.18 .28 .38 .48 .58 .68 .78
這提供了一個雖不很精確但極簡單的常態亂數產生法。相
對地, 指數分布群體在 n=30 時, 樣本平均數的分布並不
很接近常態:
|
12+
| O@@O
| O@@OO@*
| OO@OOOOOO@
| O@OOOOOOOO*
08+ OO@OOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOO@
04+ *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| *@@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@O
00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
.40 .65 .90 1.15 1.40
不過, 相信 "30以上為大樣本" 的人必然要辯護: 這圖哪
裡不像常態了? 讓我們再模擬一次:
| O@*
| *@OO@*
.10+ OOOOOOOO
| OO@OOOOOO@
| O@OOOOOOOO*
| OOOOOOOOOO
.08+ @OOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOO *
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.04+ *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
.02+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| **@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@OO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
.40 .65 .90 1.15 1.40 1.65
顯然地, 以上結果顯示指數群體抽樣結果之樣本平均數在
n=30 時呈現一些右偏。好吧...只是小幅右偏嘛! 幹嘛那
麼愛挑剔? 讓我們來看另一群體, 柏拉圖 (Pareto) 分布,
其 d.f. 為 F(x)=1-(K/x)^a, K>0, a>0, x>K。 其中 K
是 scale, 而 a 決定分布的形狀。在 K=1, a=5 時 n=30
的樣本平均數抽樣分布如下:
|
| OOOO Pareto(1,5)
.10+ OO@@@@* n=30
| OOO@OOOOO@
| OO@OOOOOOO*
| OOOOOOOOOO *
.08+ OOO@OOOOOOOO
| OO@OOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOO
.06+ @OOOOOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.02+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
| ** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
|*** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@OOOO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
1.10 1.17 1.24 1.32 1.39 1.47
這分布所呈現的偏態還能忽略嗎? 取 n=100, 結果如下:
| Pareto(1,5) 群體
| n=100 時樣本平均數之抽樣分布
.10+ OOO@**
| OO@OOO*
| OOO@OOOOO@
| OO@OOOOOOO*
.08+ O@OOOOOOOO *
| OO@OOOOOOOOOOO*
| O@OOOOOOOOOOOO *
| OOOOOOOOOOOOOOOO
.06+ @OOOOOOOOOOOOOOO*
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO *
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.02+ *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| **OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| *@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@OO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
1.15 1.19 1.23 1.27 1.31 1.35
仍有些右偏。參數 a 的值改為 3, 取 n=100, 則得:
|
| OOOO Pareto(1,3) 群體
.10+ OOOO n=100 時樣本平均數之分布
| OOOOOOOO
| OOOOO@@@@@*
| OOOO@OOOOO *
.08+ OOO@OOOOOO *
| OO@OOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOO *
| OO@OOOOOOOOOOOOO *
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOO *
.04+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
.02+ * OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| ** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
| **** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@OOOOO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
1.26 1.36 1.46 1.56 1.66 1.76
由於 a=3 時群體分布的右尾比 a=5 時厚, 因此即使同樣
是 n=100, 前面 a=5 時的樣本平均數偏態已不嚴重, a=3
時卻顯示結果和常態 "差太多了!" 甚至在 n=200 時也不
接近常態!
12+ Pareto(1,3) 群體
| OO n=200時之樣本平均數抽樣分布
| OOOO
| OOO@@@@@*
| OO@OOOOOO@
08+ OO@@OOOOOOOO**
| O@OOOOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOO *
04+ @@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO**
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO **
| ** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
| ***@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@O
00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
1.32 1.39 1.47 1.54 1.62 1.69
| n=400
.10+ OOOOOO
| OOOOOO
| OOO@@@@@*
| OO@OOOOO *
.08+ O@OOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOO *
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
.02+ * OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| ***@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@OOO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
1.37 1.42 1.47 1.52 1.57 1.62
對數常態群體, 參數 (0,1), n=30 時的樣本平均數分布:
|
.12+ OO
| OOOOOO
| OOOO@@
| OOOO@@OO**
| OO@@OOOOOO**
.08+ O@OOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOO *
| @OOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| **OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO**
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| ** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
|*** OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@OOO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
.70 1.20 1.70 2.20 2.70 3.20
| n=100
.12+
| OOO@@@*
| OO@OOOO@
| O@OOOOOO*
| OO@OOOOOOOO@
.08+ O@OOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| **OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@
| ****OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@OO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
.96 1.26 1.56 1.86 2.16 2.46
事實上 n=300 才表現出接近常態, 雖然仍有些右偏!
|
.10+ OO
| OO@@**
| @@OOOO@O
| O@OOOOOOO@
.08+ @OOOOOOOOO*
| OOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOO *
.06+ O@OOOOOOOOOOOOOOOO
| OOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.02+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| *@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@O
| ***@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@OOOO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
1.23 1.38 1.53 1.68 1.83 1.98 2.13
哪有那麼簡單一句 "n≧30 為大樣本" 就蓋棺論定的?
事實上 "n≧30" 的界限來自 t 分布。雖然這界限似乎來
自數值表印刷時的限制, 但從密度曲線來看, 自由度30的
t 分布確實很接近標準常態分布 --- 不過,以臨界值來看,
t 分布與標準常態分布間的差距是否真的可忽略, 恐怕還
是見仁見智的問題。以單尾5%臨界點來說, 以標準常態近
似自由度 30 的 t 分布, 其誤差約 3.2%; 2.5%百分點的
誤差約4.2%; 單尾1%臨界點誤差5.6%; 單尾0.5%誤差則有
6.8%。
t 分布本身是在常態群體假設下得到的, 它在自由度增大
時接近標常態與中央極限定理一點也扯不上關係, 反而是
與大數法則關聯比較大 --- 分母的樣本標準差 s 當樣本
數無限增大時收歛到群體標準差。許多學生學而不察, 把
"收歛到常態分布" 看成是 CLT 的同義敘述, 實在可嘆!
事實上, 中央極限定理的基本觀念是 "大樣本分布",常態
分布只是一個結果。例如類別資料分析或廣義線性模型中
模型配適度統計量, 或一般概度比檢定 -2ln(λ) 統計量
之漸近卡方, 都是中央極限定理的結論。
當群體不是常態時, "t 統計量" 或含義較廣的 t-變量,
後一稱呼是例如在區間估計中的 t-變量,是一個包含未知
參數(群體平均數)μ的隨機變數, 當然不再是 t分布。此
時雖然仍可利用中央極限定理與大數法則推證出樣本數夠
大時 t-變量的分布也會接近常態, 但更沒有道理說n≧30
就夠了! 例如前述標準指數分布群體的 t-變量, 當 n=30
時明顯左偏:
| 群體: 標準指數分配
.10+ *@O ( 樣本平均 - 1 )
| ** O@@O t = ----------------
| * OOOOO@ 估計的標準誤
| *OOOOOOOO@O
n=30, 做10000組
.08+ * OOOOOOOOO@
* 及 @ 是 t 分布密度曲線
| OOOOOOOOOOOO
| *OOOOOOOOOOOO@O
| * OOOOOOOOOOOOO@ ref: telnet://bbs.ncku.edu.tw
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOO Stat_IT 版 #400
| *OOOOOOOOOOOOOOOO* Statisti_Liu 版 #1384
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOO@ 作者: cjlu
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 日期: 2003.9.19
.04+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO *
.02+ OOO@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OOO@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO **
| OOOOO@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO **
|OOOOOOOOO@@@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO ****
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
-4.00 -2.75 -1.50 -.25 1.00 2.25 3.50
即使在 n=100 時, 左偏現象仍很難視而不見:
| OO
n=100, 做10000組樣本
.10+ **@@
| *OOOO@O
| * OOOOO@
| *OOOOOOOO@O
.08+ @OOOOOOOOOO@
| OOOOOOOOOOOO
| *OOOOOOOOOOOO@O
| @OOOOOOOOOOOOOO@
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOO
| *OOOOOOOOOOOOOOOO@O
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
.04+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.02+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| OO@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO**
| OOOO@@@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO****
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-
-4.00 -2.75 -1.50 -.25 1.00 2.25
事實上, 在很多時候我們引用中央極限定理 (並配合其他
方法如 delta-method) 聲稱某一統計量(或隨機變數) 具
漸近常態性是頗危險的! 除非我們能確定此種近似的誤差
與樣本大小的關係, 或至少知道樣本數多少以上時誤差是
大致可接受的 (只是一般的可接受和特定應用時可否接受
是兩回事)。例如,樣本變異係數的抽樣分布, 可證明在適
當條件下具大樣本常態性。但以常態群體來說, 當群體變
異係數略高時, 可能 n=10000 還不是很夠!
.10+ 群體: N(1,5^2)
| OOO@@@@O n=10000
| OO@OOOO@ 樣本 CV 的抽樣分布
| O@OOOOOO**
.08+ OO@OOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOO*
| OO@OOOOOOOOOOO *
| O@OOOOOOOOOOOOOO*
.06+ OOOOOOOOOOOOOOOO *
| @OOOOOOOOOOOOOOOOO
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.04+ OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| *OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
.02+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@*
| @@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| @@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@
| **@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@OO
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
4.20 4.50 4.80 5.10 5.40 5.70 6.00
似乎要 n=25600 才算是合理的近似!
| n=25600
.10+ @@@@*
| O@OOOOO@
| @OOOOOOO*
| O@OOOOOOOO
.08+ OOOOOOOOOOO@
| @OOOOOOOOOOO*
| O@OOOOOOOOOOOO
| OOOOOOOOOOOOOOO@
.06+ @OOOOOOOOOOOOOOO*
| O@OOOOOOOOOOOOOOOO
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
.04+ O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
| @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO*
| O@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
.02+ @OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@O
| @@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@
| @@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@OO
| *@@OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO@@@@
.00+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+
4.40 4.60 4.80 5.00 5.20 5.40 5.60
事實上不只是樣本 CV 的分布可能需要很大樣本, 在群體
不是常態時樣本變異數或標準差雖然也可證明在某些條件
下 (存在四階動差) 具漸近常態性, 但也可能需要非常大
的樣本!
--
※ 發信站: 新批踢踢(ptt2.cc)
◆ From: 218.166.100.13
--
發發勞騷灌灌水.....
沒事別理我
別理我沒事
--
※ 發信站: 新批踢踢(ptt2.cc)
◆ From: 61.228.51.61
--
「無法立足於國際舞台的國家，還有其存在的意義嗎？」
遠野曾這麼說過。
不被承認的的國家，確實似乎什麼也辦不到。
但即使是這樣，我們也不能捨棄它。
因為，那是一直在我們背上的東西。
那是，我們曾經是亞洲第一大國時的記憶。
--
※ 發信站: 新批踢踢(ptt2.cc)
◆ From: 140.112.25.177
--
夫兵者不祥之器物或惡之故有道者不處君子居則貴左用兵則貴右兵者不祥之器非君子
之器不得已BBS telnet://wretch.twbbs.org 開個人板 超快 不用連署得志於天下
矣吉事尚左凶事尚右偏將軍居左上將軍居右言以喪禮處之殺人之眾以哀悲泣之戰勝以
喪禮處之道常無名樸雖小天下莫能臣侯王若能守之萬物將自賓天地相合以降甘露民莫
之令而自均始制有名名亦既有夫亦將 NK218-187-9-175.2-3.dynamic.apol.com.tw海
作者在
04/06/25 1:59:51 從
NK218-187-9-175.2-3.dynamic.apol.com.tw 修改這篇文章
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.230.36.235
※ 編輯: JGU 來自: 61.230.36.235 (06/25 09:28)
→ JGU:我只是想知道這篇虎爛在哪裡...||| 61.230.36.235 06/25
噓 Deatheye:完全看不懂..... 210.58.164.184 06/25
推 LimSinE:我沒有看後面，前面的誤解是真的... 61.70.211.116 06/25
推 jerrywms:其實唬爛版很學術... 61.229.121.169 06/25
推 immoi:看不懂@@ 218.35.51.93 06/25
推 wanderer:我直接跳過了 - -" 61.216.72.111 06/25
推 pc610:同上 220.130.51.202 06/27