[問題] Calculus Calculus Calculus

[chienluen (小捻)]

Question

For what value of "a" does the equation " lnx=ax^ " have exactly one solution?


<Sol>

set f(x)=lnx-ax^

由題意知

f(x)=lnx-ax^=0恰有1根→至多有一根，且至少有一根

(1) 至多有一根，可由Rolle's Theorem

f'(x)=1/x-2ax不等於0，所以1/x不等於2ax，所以1/x^不等於2a，所以a<0

(2)由中間值定理

f(0)=ln0-a*0^=-無限大<0
f(1)=ln1-a*1^=-a>0

則存在一個c在[0，1]，s.t.f(c)=0

所以f(x)至少有一個根

(3)所以，若lnx=ax^恰有一組解，則必a<0


Sol的第五行看不懂欸

還是有比較好的作法???

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.129.77.162
推 kazautarch:你想表達的應該是ax^2吧 ^只是拿來作為指數次方數的記
→ kazautarch:號，不代表一定是平方的意思阿= =看了1次微分才搞懂你
→ kazautarch:在打什麼，sol的第五行感覺寫法很有問題，應該用這樣吧
→ kazautarch:-2ax^2+1=0無解 判別式<0 即8a<0  thus a<0
→ eason1305:第五行的寫法是數學的嗎?  這像是intuition但不嚴謹吧
→ eason1305:                                   ^這你翻的順在嗆我
推 kazautarch:我的意思是^後面要加上次方數啊誰嗆你了阿腦
推 victoret:我也覺得那個敘述怪怪的
→ victoret:這樣說好了...若函數連續可微, 則兩點間必有一個函數值
→ victoret:的微分等於 0...但不代表說微分不等於零就一定有複數個解
→ victoret:我寫得好爛...前提是有兩解...那兩點間必有...才對
推 kazautarch:楊凱說的應該是若f(a)=f(b)且函數在(a,b)
→ kazautarch:間可微則必有c屬於(a,b)且f'(c)=0
推 victoret:是啊...可是我覺得那段話的敘述怪怪的...因果關係啦
→ victoret:若 a 則 b 並不代表若 b 則 a
推 kazautarch:對啊那段話敘述很怪　　不太像是從課本裡面出來的東西
推 victoret:我覺得好像應該要先確定他的函數長怎樣才可以用解法裡的
→ victoret:一句話
→ eason1305:腦殘軒宇你說啥我看不懂 我是說那個英文很難翻啊
推 kazautarch:我知道你長的很醜！