Re: [問題] 好久沒學術一下

[victoret (Hikari)]

這個證明超超超超超麻煩的!!!!!!!!!!

看完你就會知道為什麼這麼久都沒人打了= =
...我想要有報酬...^^

嚴謹的證明 L' Hospital's rule
需要拆成兩個部分...

1. Cauchy's mean value theorem

定義 :
假設函數 f 和 g 在 [ a, b ] 之間連續, ( a , b ) 之間可微, 且對於所有在
( a, b ) 之間的 x, g'(x) 都不等於 0, 則在 ( a, b ) 之間必定可以找到一個數 c,
使得 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ]

證明 :
       | 1 f(x) g(x) |
h(x) = | 1 f(a) g(a) | ( 三階行列式 )
       | 1 f(b) g(b) |

     = [ g(b) - g(a) ] f(x) + [ f(a) - f(b) ] g(x) + [ g(a)f(b) - f (a)g(b) ]

其中 h(a) = h(b) = 0

根據 Rolle's theorem
由於 h(x) 由 f(x) 和 g(x) 所構成, 故在 [ a, b ] 之間連續, ( a , b ) 之間可微,
又 h(a) = h(b) = 0, 故可在 ( a, b ) 之間找到一個數 c 使得 h'(c) = 0
故
[ g(b) - g(a) ] f'(c) + [ f(a) - f(b) ] g'(c) = h'(c) = 0
 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ]

X 的...有夠長= =
而且還翻譯= =
而且現在才一半而已= =
我要禮物= =

2. L'Hospital's rule

定義 :
假設 f 和 g 是可微函數, 存在一個 a 在開區間 I 內, 且對於所有的 x 在開區間 I 內
g(x) 不等於 0, 除了 a 可能不符合之外 ( 這裡翻得不好, 英文是 " except possibly
at a " )
若 lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0,
或 lim f(x) 趨近正負無限大, lim g(x) 趨近正負無限大
其中 x 趨近於 a
也就是所謂的不定形 ( 0 / 0 或 無限大 / 無限大 )
那麼
lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ]
其中 x 趨近於 a
當右邊的極限存在時成立

證明 :

首先要讓 L = lim [ f'(x) / g'(x) ]
其中 x 趨近於 a

假設
F(x) = f(x) 當 x 不等於 a
     = 0    當 x 等於 a
G(x) = g(x) 當 x 不等於 a
     = 0    當 x 等於 a

則 F 在 I 上連續 ( 因為 f 在 I 上連續, 除了 a 之外 )
且 lim F(x) = lim f(x) = 0 = F(a)
所以 G(x) 在 I 亦連續

故 F(x) 和 G(x) 在 [ a, x ] 上連續且 ( a, x ) 上可微, 且 G' 不等於 0
 ( 因為 F' = f', G' = g' )
所以, by Cauchy's mean value theorem
有一個 y, a < y < x
使得 [ F'(y) / G'(y) ] = [ F(x) - F(a) ] / [ G(x) - G(a) ] = [ F(x) / G(x) ]
又知道 F(a) = 0, G(a) = 0 假設 x 趨近於 a+, y 趨近於 b+, 則
lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ F(x) / G(x) ] = lim [ F'(x) / G'(x) ]
                    = lim [ f'(x) / g'(x) ] = L
其中 x 趨近於 a+

又, 可以以一樣的方法證明其左極限
故 lim [ f(x) / g(x) ] = L
其中 x 趨近於 a

另外是當 a 趨近於無限大時, t = 1 / x
則當 x 趨近於無限大, t 趨近於 0+,
故
lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f(1/t) / g(1/t) ]
                    = lim [ f'(1/t) * ( -1 / t^2 ) / g'(1/t) * ( -1 / t^2 ) ]
                    = lim [ f'(1/t) / g'(1/t) ]
                    = lim [ f'(x) / g'(x) ]
其中 x 趨近於無限大, t 趨近於 0+





好長好長好長...
如果有打錯還拜託幫忙 debug 一下
我覺得最好是會有人看完啦= =

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.4.235
推 flysky46:__noop' function intrinsic instead
→ flysky46:1>c:\users\user\desktop\2\2\2.cpp(11) : error C2059:
→ flysky46:1>c:\users\user\desktop\2\2\2.cpp(22) : error C2001:
→ flysky46:1>2 - 38 error(s), 1 warning(s)
→ flysky46:========== Rebuild All: 0 succeeded, 1 failed, 0 skip
→ flysky46:才把第一面貼上去就變成這樣了 誰要幫你抵阿
推 frankofranko:推一個  這還滿屌的= =
→ robin3053:用洛爾証柯西有證跟沒證不是一樣嗎XD
→ robin3053:另外，f在a點不連續的話f'(a)不是就不存在嗎?
→ robin3053:不過好長啊，最後的核心部份不太瞭sorry喔
推 robin3053:再看了一次還是看不懂XD
→ victoret:...笑...
→ victoret:其實咱也看不懂 :D
→ victoret:也不能說看不懂啦...應該說...
→ victoret:我不知道為什麼非這麼做不可
推 eason1305:0/0我看得懂   無限大/無限大我掛了
→ eason1305:要禮物行   賞你一個久違的猩猩大灌拳
→ victoret:玩亂鬥的宅男...
→ eason1305:本版應該要訂版規嚴禁自婊喔^^
→ victoret:...無限大 / 無限大 的是用 chain rule
推 evangelion:揚凱這證明哪來的?
→ victoret:...課本附錄