[閒聊] 證明 Cauchy Mean-Value Theorem

[jellyfishing (淡藍滴水母)]

Cauchy's Mean-Value Theorem (The Generalized Mean-Value Theorem)

設f(x)、g(x)在[a,b]連續，在(a,b)可微分，則存在一個c€(a,b)使得
f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]


pf：

令h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)] ， x€[a,b]

則h(x)在[a,b]連續，在(a,b)可微分，

且h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]，

又因為h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)

      h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)

      所以 h(a) = h(b)

則根據 Mean-Value Theorem ，存在一個c€(a,b) 使得 h'(c) = 0

→ f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]

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◆ From: 123.194.60.211
※ 編輯: jellyfishing    來自: 123.194.60.211       (12/19 20:05)
推 robin3053:版主現身!!快拜
→ robin3053:可是我一直覺的平均值定理啦，洛爾定理啊之類的都只是
→ robin3053:連續函數同一種性質的不同描述方法罷了，互證沒什麼意思
→ robin3053:但我也只會出一張嘴，叫我證我也不會XD
推 victoret:...推樓上!!!
→ victoret:可是這樣感覺起來這幾個定理...
→ victoret:是為了證明其他的成立而存在的樣子...
→ victoret:感覺起來就是, 我們沒辦法用直觀的方法來證明 Mean value
→ victoret:theorem...於是就先想辦法證明 Rolle's theorem...然後再
→ victoret:來 Mean value theorem...再來 Cauchy's mean value
→ victoret:theorem...再來 L'Hospital rule...就這樣= =
→ victoret:...其實我們可以請數學系的大神解釋一下...
→ victoret:這些定理的存在...究竟是為了什麼而定義出來的呢???
→ victoret:到底是為了這樣傳遞式的, 只為了證明一個定理呢?
→ victoret:還是原來有什麼更深的意義???
推 eason1305:證明好酷   柏嘉稀客  揚凱好宅
→ evangelion:推樓上