[閒聊] 數學定理的證明

[jellyfishing (淡藍滴水母)]

從這學期的微積分中我們學到了很多有名的定理~

從一開始的"極值定理"和與它同義的"有界定理"~

"勘根定理"和與它同義的"中間值定理"~

"微積分第一基本定理"和"微積分第二基本定理"~

"微小振幅定理"和"均勻連續定理"~

及其它不知名的小定理等等~

然而上面這兩組定理我們可以用直接證明把它證出來~

下面的例子則是都利用前一條證明後一條~

從"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~

推廣到"Cauchy's Mean-Value Theorem"，也就是"Generalized Mean-Value Theorem"~

而我們再利用上述定理證明了"l'Hopital Rule"~

但是這種層層傳遞的關係~

我們並不能說前一條的存在就是為了後一條而出現的~

從"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~

我們可以說它是一種推廣~

"Rolle's Theorem"告訴我們當兩端點之函數值相等時(令f(a)=f(b))~

中間必能找到某一點的切線斜率 = f(b) - f(a) ~

而我們把它更推廣到假使今天 f(a) 不等於 f(b) 時~

其實我們還是可以在中間找到一點的切線斜率為 f(b) - f(a) ~

"Cauchy's Mean-Value Theorem"即為"Generalized Mean-Value Theorem"~

"廣義平均變率定理"從名字上就知道它本來就是從"平均變率定理"而推廣的~

我們從f'(c)[g(b)-g(a)]=g'(c)[f(b)-f(a)]中~

不難發現令g(x)=x代入~

它不就變成大家所熟悉的"平均變率定理"了嗎~

而證明"l'Hopiatl Rule"時~

我們只能說我們是"利用"廣義平均變率定理去證明而已~

就如同我們利用"微小振幅定理"和"均勻連續定理"來證明

若f(x)在[a,b]連續，則f(x)在[a.b]可積一樣~

所以當我們使用一條定理去證明另一條定理時~

有時是"推廣"，有時是"利用"，或者有時是其他用途~

並不全然只是前一條定理只是為了證明後面那一條定理~

不然很多證明在定理出現的時間上就會有許多的矛盾~

我們可以利用"托勒密定理"證明"畢氏定理"~

總不能說"托勒密定理"是為了"畢氏定理"而存在的吧~

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.194.60.211
推 victoret:...有道理...
→ victoret:數學系果然不一樣^^
→ victoret:...推廣和利用...謝啦水母 :D
※ 編輯: jellyfishing    來自: 123.194.60.211       (12/20 14:08)
→ jellyfishing:其實通篇嘴砲吧我想XD，倒是這篇文賺了371p幣(大誤)
推 eason1305:樓上我先推一個再說
→ eason1305:還有俊霖我還要一個證明
→ eason1305:證明: 柏嘉只有學術版才浮出水面
→ robin3053:我不是還有po版拿票嗎，你這蠢貨
→ eason1305:ㄛ對喔    不過你還是潛水王
推 victoret:大煒才是新任潛水王吧?
推 frankofranko:怎麼看都覺得版標實在是頗不錯
→ frankofranko:但或許還無法完全的描述現在的揚凱= =
推 evangelion:最近我去學浮潛了
→ evangelion:溫故知新   揚凱好宅
推 victoret:...大煒大宅宅
→ victoret:...什麼和什麼...
→ victoret:比起上一個版標...起碼這個版標是實話, 好嗎?
→ jellyfishing:板標是有字數限制的，不然立凡請利用有限字數來描述
→ jellyfishing:揚凱~
推 victoret:...好可怕...
→ victoret:怎麼有那麼多可怕的東西...
→ victoret:我被設計了= =
推 frankofranko:限制是多少字阿?
→ jellyfishing:目前板標即為上限，為15格中文字~