[問題] 參數式微分

[victoret (Hikari)]

x = 3t / ( 1 + t ^ 3 )
y = 3t ^ 2 / ( 1 + t ^ 3 )

那麼
在哪幾個點有水平切線 ?
在哪幾個點有垂直切線 ?

dy / dt = 3t ( 2 - t ^ 3 ) / ( 1 + t ^ 3 ) ^ 2
當 dy / dt = 0 時
有水平切線, 切點分別是 ( 0, 0 ) 和 ( 2 ^ ( 1 / 3 ), 4 ^ ( 1 / 3 ) )
這邊看起來好像沒問題

然後一樣
dx / dt = 3 ( 1 - 2t ^ 3 ) / ( 1 + t ^ 3 ) ^ 2
當 dx / dt = 0 時
有垂直切線, 切點是 ( 4 ^ ( 1 / 3 ), 2 ^ ( 1 / 3 ) )
看起來好像也沒問題

可是這個圖形對於 x = y 對稱
所以照理來說, 在 ( 0, 0 ) 的地方應該會有一條垂直的切線
可是這樣一來用參數式微分似乎沒有辦法解出這一條垂直切線

順帶一提
這個圖形用 x 和 y 來表示的話, 會是
x ^ 3 + y ^ 3 = 3xy
這時的導函數會是 y' = ( 2y - x ^ 2 ) / ( y ^ 2 - 2x )
這樣也可以算出完整的答案

然後用極座標來表示的話, 會是
r = 3 sec θ tan θ / [ 1 + ( tan θ ) ^ 3 ]
這我就沒什麼心情來嘗試了= =


總之問題就是 :

為什麼用參數式微分沒辦法求出另外一個垂直切線!!!!!!!!!!??????????

有空的就幫個忙吧 :D
反正現在是寒假嘛~
PO 這種文應該頗殺風景的說 :D
謝啦^^

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◆ From: 123.192.77.38
推 flysky46:見宅男必推
推 jellyfishing:這是笛卡兒葉形線呢XD
推 jellyfishing:不知道你有沒有照著t從-無限大畫到+無限大呢?
推 jellyfishing:畫畫看你就知道為什麼不行了XD
→ victoret:畫?
→ victoret:...圖形長怎樣我是知道啦, 你是說在 ( 0, 0 ) 那邊有交點
→ victoret:是吧?可是答案上面有這個答案唷^^
→ victoret:而且我比較好奇是為什麼那裡的水平切線算的出來, 但是垂
→ victoret:直的就不行捏???
→ victoret:而且只有用參數式的時候不行?????
→ victoret:就順便問了, 參數式說有水平垂直切線的時候, 會不會和隱
→ victoret:微分的定義會不會有衝突???
→ victoret:因為隱微在圖形自己相交的地方是不可微的
→ victoret:...也就沒有切線和斜率了, 但是參數式似乎不受這個限制?
→ eason1305:我幫宅男在214篇做了一個結論他好像沒有看到  死都要嗆