→ jellyfishing:這篇有276元耶XDDD 06/17 01:37
推 flysky46:原PO專業 06/17 10:49
推 cpmp0122:↑怎麼會在這時出現 色凡lize 06/17 12:09
※ 引述《chienluen (小捻)》之銘言：
想問問下面兩題證明題~
Q1
Consider the second-order linear differential equation with constant
coefficients y"(t)+p*y'(t)+q*y(t)=c.
Prove that if p^2>4q the general solution is of the form
y=d1*exp(r1*t)+d2*exp(r2*t)+c/q
pf:
先定義兩個(線性)映射 D : D y(t) = y'(t) (微分映射)
(只是讓式子乾淨而已) I : I y(t) = y(t) (恆等映射)
先考慮"齊次"(homogeneous)的情形，即 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0
其特徵方程式為 λ^2 + p*λ + q = (λ-λ1)(λ-λ2) <其中λ1,λ2為其根>
因為題目已知 p^2 -4q > 0 ， 即表示λ1,λ2為兩相異實根。
y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0
→ ( D - λ1*I )( D - λ2*I ) y(t) = 0 (利用一開始定義的映射將微方重新表示之)
令 z(t) = ( D - λ2*I ) y(t) ， 即 ( D - λ1*I ) z(t) = 0
→ z'(t) - λ1*z(t) = 0
→ z(t) = C3 * e^(λ1*t) (C3為常數) (從上一行到這一行應該不用解釋吧?)
則 ( D - λ2*I ) y(t) = C3 * e^(λ1*t)
→ y'(t) - λ2*y(t) = C3 * e^(λ1*t)
→ e^(-λ2*t) [y'(t) - λ2*y(t)] = C3 * e^(λ1*t-λ2*t)
→ [ e^(-λ2*t) * y(t) ]' = C3 * e^[(λ1-λ2)*t]
C3
→ e^(-λ2*t) * y(t) = ---------- * e^[(λ1-λ2)*t] + C2 (C2為常數)
λ1-λ2
→ y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1為常數，是上一行的C3變來的)
所以一個齊次二階常係數微分方程 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0
若其特徵方程式之判別式 > 0 ，則其解為
y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數)
接著考慮"非齊性"(non-homogeneous)的情形
y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c
今考慮一多項式m(t)，使得
m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c
→ [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0
則由齊次的結果，我們可知此微分方程的解為
y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數)
且由 m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c 可知，m(t)為一個常數多項式
則根據 [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0
可得 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = q*m(t)
又因 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c
可得 m(t) = c/q
所以此微分方程的解為
y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數)
= c/q + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數)
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.194.254.199