Re: [問題] 積分

[XII (MathKid)]

※ 引述《alan790712 (方塊人)》之銘言：
: 錐體體積是1/3*底*高，
: 請問1/3要怎麼用積分證明呢- -？
: 除了微積分還有其他方法可以證明嗎？

積分方法:
             f(h)=A(h/H)^2       f(H)=A
                ▁▂▃▄▅▆▇█
▁▂▃▄▅▆▇█████████__ x  <--錐體倒放
0                 h              H

   H        H                      H
V=∫f(x)dx=∫(A/H^2)x^2dx=(A/H^2)*∫x^2dx=(A/H^2)(1/3)H^3=(1/3)AH
   0        0                      0

其實只要證明 三角錐體積=(1/3)底*高 即可

               A
                          B
                  X
          D                     <---空間中一平行六面體ABCD-EFGH(請自行想像>"<)
                     C
                                     (X為ABCD中心)

                                  可分為六個四面體 DACH BACF GHCF
           E
                      F                            EAHF XAEF XHFG

      H                           注意到 這六個四面體 等底等高(自己找找看!)
                 G
                                  所以體積相等

設 DACH 底=A, 高=H, DACH = (1/6)平行六面體體積 = (1/6)(2A)(H)=(1/3)AH

若底面邊界為平面上任意有界封閉曲線, 將底面三角化, 用一些三角錐逼近

取極限後, 即可得 V=(1/3)AH

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 61.217.195.97
推 alan790712:3Q