→ XII:我好像看錯題目!? 03/03 11:35
※ 引述《alan790712 (方塊人)》之銘言：
: a*i+b*s+c=k
: k為定值
: a,b,c是係數
: i為一個座標三角形邊上的格子點
: s為座標三角形內的格子點
: 要求a,b,c跟k是什麼
: ............自己的想法分隔線.......
: 好像題目的條件太少了- -
: 還有林明顯畫給我的是過(0,0),其中兩邊為X軸跟Y軸
: 的直角三角形，如果加這個條件
: 我只能求出 a=b
: 其他就不知道了 - -
: 請神手解答一下吧
你說的是下面這個嗎?(我有改符號!)
Pick定理:
設Γ為平面座標上以格子點為頂點之單純多邊形(邊與邊沒有交點)
若i為內部的格子點數, b為邊界上的格子點數
則 Γ面積為 A(Γ)=b/2+i-1
proof:
以下所講多邊形頂點均為格點
case0:Γ必定有兩個頂點A,B, 使得AB線段在Γ內部
設AB將Γ分成兩塊Γ1,Γ2, 邊界格點數b1,b2, 內部格點數i1,i2
設AB上有k+2個格點(含A,B)
則 i=i1+i2+k, b1+b2=b+2+2k
若A(Γ1)=b1/2+i1-1, A(Γ2)=b2/2+i2-1
則A(Γ)=A(Γ1)+A(Γ2)=(b1+b2)/2+(i1+i2)-2
=(b+2+2k)/2+(i-k)-2
=b/2+i-2 亦成立
case0':Γ,Γ1,Γ2同上
設此公式對Γ,Γ1成立
A(Γ2)=A(Γ)-A(Γ1)=b/2+i-1-(b1/2+i1-1)=(b2-2-2k)/2+i2+k
=b2/2+i2-1 亦成立
又一般單純多邊形可分解成一些小三角形
由case0, 我們只需證明此式對一般三角形成立即可
case1:Γ為直角三角形, 兩股平行座標軸, 分別為m,n, (m,n)=1
設O(0,0),A(m,0),B(0,n), 則AB線段上格子點只有A,B
b=(m+1)+(n+1)+2-3=m+n+1
設D(m,n), 則ABCD內格子點數為(m-1)*(n-1)
故ABC內個子點數為i=(m-1)(n-1)/2=(mn-m-n+1)/2
A(Γ)=mn/2=b/2+i-1
由case0,case1可知:對一般邊長互質的矩形, 此公式成立
又一般直角三角形可分為一些小直角三角形及小矩形, 其兩股互質, 兩邊互質
故由case0, 此公式對一般直角三角形成立, 對一般矩形亦成立
case2:設Γ=ABC為一般三角形
我們可補上兩個直角三角形Γ1=AMB,Γ2=BNC及一矩形Γ3=MBNH
形成直角三角形Γ'=AHC
A 由case0'
A(Γ)=A(Γ')-A(Γ1)-A(Γ2)-A(Γ3)
M B =b/2+i-1 亦成立
H N C
q.e.d.
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