※ 引述《jellyfishing (淡藍滴水母)》之銘言：
: 上星期在補習班~
: 有個高三的北一女學生問了一個數學問題~
: 我想不出有比較好且比較快的方法~
: 放出來給大家想想看囉~
: Q: 有一拋物線 y = x^2 ， 其內部有一圓C1分別切拋物線上兩點，其半徑為 1 ，
: 其上有另一圓C2分別切此圓和拋物線上另外兩點，其半徑為r2，以此類推，
: 試求 rn = ?
y'=2x
設切點 J(k,k^2)
則切線為y-k^2 = 2k(x-k)
法線為y-k^2 = (-1/2k)(x-k) 交y軸於1/2 + k^2
得圓心為 O(0,1/2 + k^2)
__
又OJ = 1
解得k = ±(√3)/2
得圓心為 O(0,5/4)
定義r0=0
設Cn圓心為G(0,1/4 + (r0+r1)+(r1+r2)+...+(r_n-1+r_n) )
切點 H(t,t^2)
則切線為y-t^2 = 2t(x-t)
法線為y-t^2 = (-1/2t)(x-t) 交y軸於1/2 + t^2
得圓心為 G(0,1/2 + t^2)
得1/4 +2(r1+r2+..+r_n-1) + r_n=1/2 + t^2 ----(1.)式
__
GH = r_n
得t^2 + 1/4 = r_n^2 ----(2.)式
由以上兩式得:
r_n^2 - 1/4 = -1/4 +2(r1+r2+..+r_n-1) + r_n
r_n^2 - r_n -2(r1+r2+..+r_n-1) =0
此即r_n遞迴關係式 初始值r1=1
剩下留給你解出來吧
不會解再找我
(另外 如果一開始不想用微分 第一步也可以將y=x^2代入x^2+(y-k)^2=1
然後因為相切 故判別式=0 直接得到k=5/4 也很快)
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